Номер 23.2, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

23.2. a) $6 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0;$

б) $2 \cos^2 3x - 5 \cos 3x - 3 = 0;$

в) $2 \cos^2 x - \cos x - 3 = 0;$

г) $2 \cos^2 \frac{x}{3} + 3 \cos \frac{x}{3} - 2 = 0.$

а) $6 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\cos x$. Выполним замену переменной. Пусть $t = \cos x$, при этом необходимо учесть, что область значений функции косинус - это отрезок $[-1, 1]$, следовательно $|t| \le 1$.

Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:

$6t^2 + t - 1 = 0$

Для его решения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 = 5^2$

Теперь найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Оба найденных значения $t_1 = -1/2$ и $t_2 = 1/3$ удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Следовательно, возвращаемся к исходной переменной $x$, решая два простейших тригонометрических уравнения:

1) $\cos x = -\frac{1}{2}$

$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos x = \frac{1}{3}$

$x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \cos^2 3x - 5 \cos 3x - 3 = 0$

Введем замену переменной $t = \cos 3x$, с условием $|t| \le 1$.

Уравнение принимает вид: $2t^2 - 5t - 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Найдем корни:

$t_1 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

Проверим корни. $t_1 = -1/2$ удовлетворяет условию $|t| \le 1$. Корень $t_2 = 3$ не удовлетворяет этому условию, так как $\cos 3x$ не может быть равен 3.

Следовательно, решаем уравнение:

$\cos 3x = -\frac{1}{2}$

$3x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$3x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 3:

$x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

в) $2 \cos^2 x - \cos x - 3 = 0$

Введем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

Получим уравнение: $2t^2 - t - 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Найдем корни:

$t_1 = \frac{1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

$t_2 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Корень $t_1 = -1$ удовлетворяет условию $|t| \le 1$. Корень $t_2 = 3/2 = 1.5$ не удовлетворяет условию, поэтому он является посторонним.

Решаем уравнение:

$\cos x = -1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения.

$x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $2 \cos^2 \frac{x}{3} + 3 \cos \frac{x}{3} - 2 = 0$

Введем замену переменной $t = \cos \frac{x}{3}$, с условием $|t| \le 1$.

Уравнение принимает вид: $2t^2 + 3t - 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Найдем корни:

$t_1 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

$t_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$. Корень $t_2 = 1/2$ удовлетворяет этому условию.

Решаем уравнение:

$\cos \frac{x}{3} = \frac{1}{2}$

$\frac{x}{3} = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Умножим обе части на 3:

$x = \pm \pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.