Номер 23.8, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.8. Сколько корней заданного уравнения принадлежит указанному промежутку:

а) $4 \sin^2 \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) - 1 = 0, x \in [0; 3];$

б) $\sqrt{3} \operatorname{tg}^2 3x - 3 \operatorname{tg} 3x = 0, x \in (-1,5; 1,5);$

в) $4 \cos^2 \left( x - \frac{\pi}{6} \right) - 3 = 0, x \in [-5,5; \pi];$

г) $2 \cos^2 \frac{x}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 0, x \in (-16; 10)?$

а)

Сначала решим уравнение $4 \sin^2(2x + \frac{\pi}{3}) - 1 = 0$.

$\sin^2(2x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{4}$

$\sin(2x + \frac{\pi}{3}) = \pm\frac{1}{2}$

Это равносильно совокупности двух уравнений:

$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi k$ и $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Можно объединить эти серии решений: $2x + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим случай, когда $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi n$:

$2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n$

$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$

Рассмотрим случай, когда $2x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \pi n$:

$2x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n = -\frac{3\pi}{6} + \pi n = -\frac{\pi}{2} + \pi n$

$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$

Теперь найдем количество корней, принадлежащих промежутку $x \in [0; 3]$. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

Для серии $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$: $0 \le -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} \le 3$.

$0 \le -\frac{1}{12} + \frac{n}{2} \le \frac{3}{\pi} \implies \frac{1}{12} \le \frac{n}{2} \le \frac{3}{\pi} + \frac{1}{12} \implies \frac{1}{6} \le n \le \frac{6}{\pi} + \frac{1}{6}$.

$\frac{6}{3,14} + \frac{1}{6} \approx 1,91 + 0,17 = 2,08$.

$0,17 \le n \le 2,08$. Целые значения $n$: 1, 2. (2 корня)

Для серии $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$: $0 \le -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \le 3$.

$0 \le -\frac{1}{4} + \frac{n}{2} \le \frac{3}{\pi} \implies \frac{1}{4} \le \frac{n}{2} \le \frac{3}{\pi} + \frac{1}{4} \implies \frac{1}{2} \le n \le \frac{6}{\pi} + \frac{1}{2}$.

$\frac{6}{3,14} + \frac{1}{2} \approx 1,91 + 0,5 = 2,41$.

$0,5 \le n \le 2,41$. Целые значения $n$: 1, 2. (2 корня)

Всего корней: $2 + 2 = 4$.

Ответ: 4

б)

Решим уравнение $\sqrt{3} \operatorname{tg}^2 3x - 3 \operatorname{tg} 3x = 0$.

Вынесем общий множитель $\operatorname{tg} 3x$:

$\operatorname{tg} 3x (\sqrt{3} \operatorname{tg} 3x - 3) = 0$.

Получаем два случая:

1) $\operatorname{tg} 3x = 0$

$3x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{3}$

2) $\sqrt{3} \operatorname{tg} 3x - 3 = 0$

$\operatorname{tg} 3x = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

$3x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$

Теперь найдем количество корней на промежутке $x \in (-1,5; 1,5)$.

Для серии $x = \frac{\pi k}{3}$: $-1,5 < \frac{\pi k}{3} < 1,5 \implies -4,5 < \pi k < 4,5 \implies -\frac{4,5}{\pi} < k < \frac{4,5}{\pi}$.

Так как $\pi \approx 3,14$, то $-\frac{4,5}{3,14} \approx -1,43$ и $\frac{4,5}{3,14} \approx 1,43$.

$-1,43 < k < 1,43$. Целые значения $k$: -1, 0, 1. (3 корня)

Для серии $x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$: $-1,5 < \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} < 1,5 \implies -\frac{13,5}{\pi} < 1+3n < \frac{13,5}{\pi}$.

$\frac{13,5}{3,14} \approx 4,3$.

$-4,3 < 1+3n < 4,3 \implies -5,3 < 3n < 3,3 \implies -1,77 < n < 1,1$.

Целые значения $n$: -1, 0, 1. (3 корня)

Всего корней: $3 + 3 = 6$.

Ответ: 6

в)

Решим уравнение $4 \cos^2(x - \frac{\pi}{6}) - 3 = 0$.

$\cos^2(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{3}{4}$

$\cos(x - \frac{\pi}{6}) = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

Это приводит к решениям вида:

$x - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1) $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi k$

2) $x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + \pi k \implies x = \pi k$

Найдем количество корней на промежутке $x \in [-5,5; \pi]$.

Для серии $x = \pi k$: $-5,5 \le \pi k \le \pi \implies -\frac{5,5}{\pi} \le k \le 1$.

$-\frac{5,5}{3,14} \approx -1,75$.

$-1,75 \le k \le 1$. Целые значения $k$: -1, 0, 1. (3 корня)

Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$: $-5,5 \le \frac{\pi}{3} + \pi k \le \pi \implies -\frac{5,5}{\pi} \le \frac{1}{3} + k \le 1 \implies -\frac{5,5}{\pi} - \frac{1}{3} \le k \le 1 - \frac{1}{3}$.

$-1,75 - 0,33 \le k \le 0,67 \implies -2,08 \le k \le 0,67$.

Целые значения $k$: -2, -1, 0. (3 корня)

Всего корней: $3 + 3 = 6$.

Ответ: 6

г)

Решим уравнение $2 \cos^2 \frac{x}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 0$.

Вынесем общий множитель $\cos \frac{x}{2}$:

$\cos \frac{x}{2} (2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3}) = 0$.

Получаем два случая:

1) $\cos \frac{x}{2} = 0$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pi + 2\pi k = \pi(1+2k)$

2) $2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3} = 0$

$\cos \frac{x}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{x}{2} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{5\pi}{3} + 4\pi n$

Найдем количество корней на промежутке $x \in (-16; 10)$.

Для серии $x = \pi(1+2k)$: $-16 < \pi(1+2k) < 10 \implies -\frac{16}{\pi} < 1+2k < \frac{10}{\pi}$.

$-\frac{16}{3,14} \approx -5,09$, $\frac{10}{3,14} \approx 3,18$.

$-5,09 < 1+2k < 3,18 \implies -6,09 < 2k < 2,18 \implies -3,045 < k < 1,09$.

Целые значения $k$: -3, -2, -1, 0, 1. (5 корней)

Для серии $x = \frac{5\pi}{3} + 4\pi n$: $-16 < \frac{5\pi}{3} + 4\pi n < 10 \implies -\frac{16}{\pi} < \frac{5}{3} + 4n < \frac{10}{\pi}$.

$-5,09 < 1,67 + 4n < 3,18 \implies -6,76 < 4n < 1,51 \implies -1,69 < n < 0,38$.

Целые значения $n$: -1, 0. (2 корня)

Для серии $x = -\frac{5\pi}{3} + 4\pi n$: $-16 < -\frac{5\pi}{3} + 4\pi n < 10 \implies -\frac{16}{\pi} < -\frac{5}{3} + 4n < \frac{10}{\pi}$.

$-5,09 < -1,67 + 4n < 3,18 \implies -3,42 < 4n < 4,85 \implies -0,855 < n < 1,21$.

Целые значения $n$: 0, 1. (2 корня)

Всего корней: $5 + 2 + 2 = 9$.

Ответ: 9