Номер 23.25, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите систему уравнений:

23.25. a) $\begin{cases} 2 \sin x - 5 \cos y = 7, \\ 5 \sin x + \cos y = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 5 \sin 2x + 3 \cos 3y = 1, \\ 8 \sin 2x - 6 \cos 3y = 7. \end{cases}$

Дана система уравнений: $\displaystyle \begin{cases} 2 \sin x - 5 \cos y = 7, \\ 5 \sin x + \cos y = 4. \end{cases}$

Данная система является линейной относительно $\sin x$ и $\cos y$. Сделаем замену переменных. Пусть $a = \sin x$ и $b = \cos y$. Так как область значений синуса и косинуса $[-1, 1]$, то должны выполняться условия $|a| \le 1$ и $|b| \le 1$.

Система в новых переменных примет вид: $\displaystyle \begin{cases} 2a - 5b = 7, \\ 5a + b = 4. \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $b$: $b = 4 - 5a$. Подставим это выражение в первое уравнение: $2a - 5(4 - 5a) = 7$.

Раскроем скобки и решим полученное уравнение: $2a - 20 + 25a = 7 \implies 27a = 27 \implies a = 1$.

Теперь найдем значение $b$: $b = 4 - 5a = 4 - 5 \cdot 1 = -1$.

Полученные значения $a=1$ и $b=-1$ удовлетворяют условиям $|a| \le 1$ и $|b| \le 1$, следовательно, решения существуют.

Выполним обратную замену: $\sin x = 1$ и $\cos y = -1$.

Решим каждое из этих простейших тригонометрических уравнений.

Из уравнения $\sin x = 1$ находим $x$: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из уравнения $\cos y = -1$ находим $y$: $y = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, y = \pi + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

Дана система уравнений: $\displaystyle \begin{cases} 5 \sin 2x + 3 \cos 3y = 1, \\ 8 \sin 2x - 6 \cos 3y = 7. \end{cases}$

Эта система является линейной относительно $\sin 2x$ и $\cos 3y$. Сделаем замену переменных. Пусть $u = \sin 2x$ и $v = \cos 3y$.

Система в новых переменных примет вид: $\displaystyle \begin{cases} 5u + 3v = 1, \\ 8u - 6v = 7. \end{cases}$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим обе части первого уравнения на 2: $2(5u + 3v) = 2 \cdot 1 \implies 10u + 6v = 2$.

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы: $(10u + 6v) + (8u - 6v) = 2 + 7 \implies 18u = 9 \implies u = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.

Подставим найденное значение $u = \frac{1}{2}$ в первое уравнение ($5u + 3v = 1$): $5 \cdot \frac{1}{2} + 3v = 1 \implies \frac{5}{2} + 3v = 1 \implies 3v = 1 - \frac{5}{2} \implies 3v = -\frac{3}{2} \implies v = -\frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену: $\sin 2x = \frac{1}{2}$ и $\cos 3y = -\frac{1}{2}$.

Решим каждое из этих простейших тригонометрических уравнений.

Из уравнения $\sin 2x = \frac{1}{2}$ находим $2x$: $2x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда находим $x$: $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из уравнения $\cos 3y = -\frac{1}{2}$ находим $3y$: $3y = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Отсюда находим $y$: $y = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, y = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.