Номер 23.28, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

23.28. a) $|\cos x| = 2 \cos x - \sqrt{3} \sin x;$

б) $\sin x = \sqrt{3} \cos x + 2|\sin x|.$

а) $|\cos x| = 2 \cos x - \sqrt{3} \sin x$

Данное уравнение содержит модуль, поэтому для его решения необходимо рассмотреть два случая, основанных на знаке выражения под модулем.

Случай 1: $\cos x \ge 0$

При этом условии $|\cos x| = \cos x$. Уравнение принимает вид:

$\cos x = 2 \cos x - \sqrt{3} \sin x$

Перенесем слагаемые, чтобы сгруппировать $\sin x$ и $\cos x$:

$\sqrt{3} \sin x = 2 \cos x - \cos x$

$\sqrt{3} \sin x = \cos x$

Если предположить, что $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $\sin x = 0$. Однако это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} = 1$

$\sqrt{3} \tan x = 1$

$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Общее решение для этого уравнения тангенса: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо отобрать те корни, которые удовлетворяют условию $\cos x \ge 0$. Это условие выполняется для углов в I и IV координатных четвертях. Из серии решений $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$ нам подходят только те, что соответствуют I четверти. Например, при $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{6}$, и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$. При $k=1$ получаем $x = \frac{7\pi}{6}$, и $\cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$, что не удовлетворяет условию. Таким образом, подходят только значения с четными $k$. Заменив $k$ на $2k$, получаем первую серию решений:

$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\cos x < 0$

При этом условии $|\cos x| = -\cos x$. Уравнение принимает вид:

$-\cos x = 2 \cos x - \sqrt{3} \sin x$

$\sqrt{3} \sin x = 3 \cos x$

Разделим обе части на $\cos x$ (который по условию не равен нулю):

$\sqrt{3} \tan x = 3$

$\tan x = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

Общее решение: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни, удовлетворяющие условию $\cos x < 0$ (II и III координатные четверти). Из серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$ нам подходят решения, соответствующие III четверти. Например, при $k=1$ получаем $x = \frac{4\pi}{3}$, и $\cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} < 0$. При $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{3}$, и $\cos(\frac{\pi}{3}) > 0$, что не подходит. Таким образом, подходят только значения с нечетными $k$. Заменив $k$ на $2k+1$, получаем вторую серию решений:

$x = \frac{\pi}{3} + (2k+1)\pi = \frac{\pi}{3} + \pi + 2\pi k = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x = \sqrt{3} \cos x + 2|\sin x|$

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sin x \ge 0$

При этом условии $|\sin x| = \sin x$. Уравнение принимает вид:

$\sin x = \sqrt{3} \cos x + 2\sin x$

$-\sin x = \sqrt{3} \cos x$

Разделим на $\cos x$ (так как $\cos x = 0$ не является решением):

$-\tan x = \sqrt{3}$

$\tan x = -\sqrt{3}$

Общее решение: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$ (или $x = \frac{2\pi}{3} + \pi k$), где $k \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни, удовлетворяющие условию $\sin x \ge 0$ (I и II координатные четверти). Из серии $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$ подходят решения, соответствующие II четверти. Например, при $k=1$, $x = \frac{2\pi}{3}$, и $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$. При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{3}$, и $\sin(-\frac{\pi}{3}) < 0$, что не подходит. Таким образом, подходят значения с нечетными $k$. Заменив $k$ на $2k+1$, получаем:

$x = -\frac{\pi}{3} + (2k+1)\pi = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\sin x < 0$

При этом условии $|\sin x| = -\sin x$. Уравнение принимает вид:

$\sin x = \sqrt{3} \cos x - 2\sin x$

$3\sin x = \sqrt{3} \cos x$

Разделим на $\cos x$:

$3\tan x = \sqrt{3}$

$\tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Общее решение: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни, удовлетворяющие условию $\sin x < 0$ (III и IV координатные четверти). Из серии $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$ подходят решения, соответствующие III четверти. Например, при $k=1$, $x = \frac{7\pi}{6}$, и $\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2} < 0$. При $k=0$, $x = \frac{\pi}{6}$, и $\sin(\frac{\pi}{6}) > 0$, что не подходит. Таким образом, подходят значения с нечетными $k$. Заменив $k$ на $2k+1$, получаем:

$x = \frac{\pi}{6} + (2k+1)\pi = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.