Номер 23.31, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.31. Для каждого значения a решите уравнение:

а) $\frac{a \sin x - 1}{\sin x + \cos x} = 0;$

б) $\frac{a \cos x - 1}{\sin x - \cos x} = 0.$

а) $\frac{a \sin x - 1}{\sin x + \cos x} = 0$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} a \sin x - 1 = 0 \\ \sin x + \cos x \neq 0 \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение: $a \sin x = 1$.

1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 = 1$, что неверно. Следовательно, решений нет.

2. Если $a \neq 0$, то $\sin x = \frac{1}{a}$.

Это уравнение имеет решения только при условии $|\frac{1}{a}| \le 1$, что эквивалентно $|a| \ge 1$. То есть, при $a \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Рассмотрим второе условие системы: $\sin x + \cos x \neq 0$.

Преобразуем левую часть: $\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$.

Условие $\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) \neq 0$ означает, что $x + \frac{\pi}{4} \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, $x \neq -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Это условие нарушается, если $\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Исключим из рассмотрения те значения параметра $a$, при которых это возможно.

$\sin x = \frac{1}{a} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \implies a = \pm\sqrt{2}$.

Рассмотрим эти случаи отдельно:

• При $a = \sqrt{2}$, уравнение $\sin x = \frac{1}{a}$ становится $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Его решения: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим их по условию $\sin x + \cos x \neq 0$.

Для $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$: $\sin x + \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \neq 0$. Эти корни подходят.

Для $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: $\sin x + \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$. Эти корни не подходят.

Следовательно, при $a=\sqrt{2}$ решениями являются $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

• При $a = -\sqrt{2}$, уравнение $\sin x = \frac{1}{a}$ становится $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Его решения: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим их по условию $\sin x + \cos x \neq 0$.

Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$: $\sin x + \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$. Эти корни не подходят.

Для $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$: $\sin x + \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \neq 0$. Эти корни подходят.

Следовательно, при $a=-\sqrt{2}$ решениями являются $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Обобщим результаты:

Ответ:

если $|a| < 1$, то корней нет;

если $a = \sqrt{2}$, то $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$;

если $a = -\sqrt{2}$, то $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$;

если $|a| \ge 1$ и $a \neq \pm\sqrt{2}$, то $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{a}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\frac{a \cos x - 1}{\sin x - \cos x} = 0$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} a \cos x - 1 = 0 \\ \sin x - \cos x \neq 0 \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение: $a \cos x = 1$.

1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 = 1$, что неверно. Следовательно, решений нет.

2. Если $a \neq 0$, то $\cos x = \frac{1}{a}$.

Это уравнение имеет решения только при условии $|\frac{1}{a}| \le 1$, что эквивалентно $|a| \ge 1$. То есть, при $a \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Рассмотрим второе условие системы: $\sin x - \cos x \neq 0$.

Преобразуем левую часть: $\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4})$.

Условие $\sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4}) \neq 0$ означает, что $x - \frac{\pi}{4} \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Это условие нарушается, если $\cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Исключим из рассмотрения те значения параметра $a$, при которых это возможно.

$\cos x = \frac{1}{a} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \implies a = \pm\sqrt{2}$.

Рассмотрим эти случаи отдельно:

• При $a = \sqrt{2}$, уравнение $\cos x = \frac{1}{a}$ становится $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Его решения: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Проверим их по условию $\sin x - \cos x \neq 0$.

Для $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$: $\sin x - \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$. Эти корни не подходят.

Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$: $\sin x - \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \neq 0$. Эти корни подходят.

Следовательно, при $a=\sqrt{2}$ решениями являются $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

• При $a = -\sqrt{2}$, уравнение $\cos x = \frac{1}{a}$ становится $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Его решения: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Проверим их по условию $\sin x - \cos x \neq 0$.

Для $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: $\sin x - \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \neq 0$. Эти корни подходят.

Для $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ (или $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$): $\sin x - \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 0$. Эти корни не подходят.

Следовательно, при $a=-\sqrt{2}$ решениями являются $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Обобщим результаты:

Ответ:

если $|a| < 1$, то корней нет;

если $a = \sqrt{2}$, то $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$;

если $a = -\sqrt{2}$, то $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$;

если $|a| \ge 1$ и $a \neq \pm\sqrt{2}$, то $x = \pm \arccos(\frac{1}{a}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.