Номер 23.32, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

23.32. a) $x^2 - 2x \cos \pi x + 1 = 0$;

б) $x^2 - 2x \sin \frac{\pi x}{2} + 1 = 0$.

а) Запишем данное уравнение $x^2 - 2x \cos(\pi x) + 1 = 0$ и рассмотрим его как квадратное уравнение относительно переменной $x$, где коэффициент при $x$ зависит от самого $x$.
$x^2 - (2\cos(\pi x))x + 1 = 0$
Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:
$D = (-2\cos(\pi x))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4\cos^2(\pi x) - 4 = 4(\cos^2(\pi x) - 1)$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, заменим $\cos^2(\pi x) - 1$ на $-\sin^2(\pi x)$:
$D = -4\sin^2(\pi x)$.
Для того чтобы квадратное уравнение имело действительные корни, его дискриминант должен быть неотрицательным, то есть $D \ge 0$.
Однако, поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен ($\sin^2(\pi x) \ge 0$), выражение $-4\sin^2(\pi x)$ всегда будет неположительным, то есть $-4\sin^2(\pi x) \le 0$.
Единственный случай, когда оба условия ($D \ge 0$ и $D \le 0$) могут выполняться одновременно, это когда $D = 0$.
$D = 0 \implies -4\sin^2(\pi x) = 0 \implies \sin^2(\pi x) = 0 \implies \cos^2(\pi x) = 1$.
Это означает, что $\cos(\pi x) = 1$ или $\cos(\pi x) = -1$.
При $D=0$ квадратное уравнение имеет единственный корень, который находится по формуле $x = -\frac{b}{2a}$. Для нашего уравнения:
$x = -\frac{-2\cos(\pi x)}{2 \cdot 1} = \cos(\pi x)$.
Теперь нам нужно найти такие значения $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $x = \cos(\pi x)$ и $\cos(\pi x) \in \{1, -1\}$.
Рассмотрим два случая:
1. Пусть $\cos(\pi x) = 1$. Тогда из уравнения $x = \cos(\pi x)$ следует, что $x=1$. Выполним проверку: $\cos(\pi \cdot 1) = \cos(\pi) = -1$. Получаем $-1=1$, что является ложным равенством. Значит, $x=1$ не является решением.
2. Пусть $\cos(\pi x) = -1$. Тогда из уравнения $x = \cos(\pi x)$ следует, что $x=-1$. Выполним проверку: $\cos(\pi \cdot (-1)) = \cos(-\pi) = -1$. Получаем $-1=-1$, что является истинным равенством. Значит, $x=-1$ является решением.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $x = -1$.

б) Запишем данное уравнение $x^2 - 2x \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) + 1 = 0$ и рассмотрим его как квадратное уравнение относительно переменной $x$.
$x^2 - \left(2\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right)x + 1 = 0$
Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:
$D = \left(-2\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4\sin^2\left(\frac{\pi x}{2}\right) - 4 = 4\left(\sin^2\left(\frac{\pi x}{2}\right) - 1\right)$.
Используя основное тригонометрическое тождество, заменим $\sin^2\left(\frac{\pi x}{2}\right) - 1$ на $-\cos^2\left(\frac{\pi x}{2}\right)$:
$D = -4\cos^2\left(\frac{\pi x}{2}\right)$.
Уравнение имеет действительные корни только при $D \ge 0$.
Так как $\cos^2\left(\frac{\pi x}{2}\right) \ge 0$, то $D = -4\cos^2\left(\frac{\pi x}{2}\right) \le 0$.
Следовательно, действительные корни существуют только при $D = 0$.
$D = 0 \implies -4\cos^2\left(\frac{\pi x}{2}\right) = 0 \implies \cos^2\left(\frac{\pi x}{2}\right) = 0 \implies \sin^2\left(\frac{\pi x}{2}\right) = 1$.
Это означает, что $\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) = 1$ или $\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) = -1$.
При $D=0$ корень уравнения находится по формуле $x = -\frac{b}{2a}$:
$x = -\frac{-2\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)}{2 \cdot 1} = \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$.
Теперь нам нужно найти такие значения $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $x = \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$ и $\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) \in \{1, -1\}$.
Рассмотрим два случая:
1. Пусть $\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) = 1$. Тогда из уравнения $x = \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$ следует, что $x=1$. Выполним проверку: $\sin\left(\frac{\pi \cdot 1}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$. Получаем $1=1$, что является истинным равенством. Значит, $x=1$ является решением.
2. Пусть $\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) = -1$. Тогда из уравнения $x = \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$ следует, что $x=-1$. Выполним проверку: $\sin\left(\frac{\pi \cdot (-1)}{2}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$. Получаем $-1=-1$, что является истинным равенством. Значит, $x=-1$ является решением.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $x = -1, x = 1$.