Номер 23.30, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.30. a) $\frac{2 \sin^2 x - 3 \sin x + 1}{\cos^2 x - \cos x} = 0$

б) $\frac{4 \sin^3 2x - 3 \sin 2x}{\cos 3x} = 0$

Данное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0, \\ \cos^2 x - \cos x \neq 0. \end{cases} $

Решим первое уравнение системы. Сделаем замену $t = \sin x$, при этом $|t| \le 1$.

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

$t_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Вернемся к переменной $x$.

1) $\sin x = \frac{1}{2}$

$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\sin x = 1$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$

Теперь решим второе условие системы (ОДЗ):

$\cos^2 x - \cos x \neq 0$

$\cos x (\cos x - 1) \neq 0$

Это означает, что $\cos x \neq 0$ и $\cos x \neq 1$.

$\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi l, l \in \mathbb{Z}$

$\cos x \neq 1 \implies x \neq 2\pi p, p \in \mathbb{Z}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ.

Корни серии $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$ не удовлетворяют условию $\cos x \neq 0$, так как $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = 0$. Следовательно, эти корни являются посторонними.

Для корней серии $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, что не равно 0 и 1. Эти корни подходят.

Для корней серии $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, что не равно 0 и 1. Эти корни также подходят.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 4\sin^3 2x - 3\sin 2x = 0, \\ \cos 3x \neq 0. \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение. Вынесем минус за скобки в числителе: $-(3\sin 2x - 4\sin^3 2x) = 0$.

Применим формулу синуса тройного угла $\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$. В нашем случае $\alpha = 2x$.

Уравнение принимает вид $-\sin(3 \cdot 2x) = 0$, или $\sin 6x = 0$.

Решим это уравнение:

$6x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{6}, k \in \mathbb{Z}$

Теперь рассмотрим условие ОДЗ: $\cos 3x \neq 0$.

$3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Исключим из найденных решений те, которые не удовлетворяют ОДЗ. Для этого приравняем общие решения к недопустимым значениям:

$\frac{\pi k}{6} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$

Разделим обе части на $\pi$:

$\frac{k}{6} = \frac{1}{6} + \frac{n}{3}$

Умножим обе части на 6:

$k = 1 + 2n$

Это равенство показывает, что корень не удовлетворяет ОДЗ, если $k$ является нечетным числом. Следовательно, мы должны оставить только те решения, для которых $k$ — четное число.

Пусть $k = 2m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Тогда $x = \frac{\pi (2m)}{6} = \frac{\pi m}{3}$.

Ответ: $x = \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$.