Номер 23.35, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.35. a) $2 \sin\left(\frac{2}{3}x - \frac{\pi}{6}\right) - 3 \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 5;$

б) $\sin\frac{x}{4} + 2 \cos\frac{x - 2\pi}{3} = 3.$

а) Рассмотрим уравнение $2\sin(\frac{2}{3}x - \frac{\pi}{6}) - 3\cos(2x + \frac{\pi}{3}) = 5$.
Данное уравнение можно решить методом оценки. Область значений синуса и косинуса — отрезок $[-1, 1]$.
Следовательно:
$-1 \le \sin(\frac{2}{3}x - \frac{\pi}{6}) \le 1$, что означает $-2 \le 2\sin(\frac{2}{3}x - \frac{\pi}{6}) \le 2$.
$-1 \le \cos(2x + \frac{\pi}{3}) \le 1$, что означает $-3 \le -3\cos(2x + \frac{\pi}{3}) \le 3$.
Сумма левой части уравнения может достигать максимального значения, только если оба слагаемых принимают свои максимальные значения одновременно. Максимальное значение левой части равно $2 + 3 = 5$.
Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:
$ \begin{cases} \sin(\frac{2}{3}x - \frac{\pi}{6}) = 1 \\ \cos(2x + \frac{\pi}{3}) = -1 \end{cases} $
Решим первое уравнение:
$\frac{2}{3}x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$\frac{2}{3}x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$\frac{2}{3}x = \frac{3\pi + \pi}{6} + 2\pi n$
$\frac{2}{3}x = \frac{4\pi}{6} + 2\pi n$
$\frac{2}{3}x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$x = \pi + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Решим второе уравнение:
$2x + \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$2x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Теперь найдем общие решения, приравняв выражения для $x$:
$\pi + 3\pi n = \frac{\pi}{3} + \pi k$
Разделим обе части на $\pi$:
$1 + 3n = \frac{1}{3} + k$
$k = 3n + 1 - \frac{1}{3}$
$k = 3n + \frac{2}{3}$
Поскольку $n$ — целое число, $3n$ также является целым числом. Однако $3n + \frac{2}{3}$ не может быть целым числом, в то время как $k$ по определению является целым. Следовательно, данное равенство невозможно ни при каких целых $n$ и $k$. Это означает, что система не имеет решений.
Ответ: корней нет.

б) Рассмотрим уравнение $\sin\frac{x}{4} + 2\cos\frac{x - 2\pi}{3} = 3$.
Применим метод оценки, как и в предыдущем пункте.
$-1 \le \sin\frac{x}{4} \le 1$
$-1 \le \cos\frac{x - 2\pi}{3} \le 1$, что означает $-2 \le 2\cos\frac{x - 2\pi}{3} \le 2$.
Сумма левой части уравнения может быть равна 3 только в том случае, если оба слагаемых одновременно принимают свои максимальные значения. Максимальное значение левой части равно $1 + 2 = 3$.
Следовательно, уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} \sin\frac{x}{4} = 1 \\ \cos\frac{x - 2\pi}{3} = 1 \end{cases} $
Решим первое уравнение:
$\frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = 2\pi + 8\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Решим второе уравнение:
$\frac{x - 2\pi}{3} = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x - 2\pi = 6\pi k$
$x = 2\pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Теперь найдем общие решения, приравняв полученные выражения для $x$:
$2\pi + 8\pi n = 2\pi + 6\pi k$
$8\pi n = 6\pi k$
Разделим обе части на $2\pi$:
$4n = 3k$
Так как 4 и 3 — взаимно простые числа, то равенство возможно, если $n$ кратно 3, а $k$ кратно 4. То есть, $n = 3m$ и $k = 4m$ для некоторого целого числа $m \in \mathbb{Z}$.
Подставим $n = 3m$ в первое решение для $x$:
$x = 2\pi + 8\pi (3m) = 2\pi + 24\pi m$
(Подстановка $k = 4m$ во второе решение даст тот же результат: $x = 2\pi + 6\pi (4m) = 2\pi + 24\pi m$).
Ответ: $x = 2\pi + 24\pi m, m \in \mathbb{Z}$.