Номер 23.40, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

23.40. a) $4 \sin^2 x - 2(\sqrt{3} - 1)\sin x - \sqrt{3} < 0;$

б) $4 \cos^2 x - 2(\sqrt{3} + 1)\cos x + \sqrt{3} \ge 0.$

а)

Решим неравенство $4 \sin^2 x - 2(\sqrt{3} - 1)\sin x - \sqrt{3} < 0$.

Это квадратное неравенство относительно $\sin x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \sin x$, где $-1 \le t \le 1$.

Неравенство принимает вид: $4t^2 - 2(\sqrt{3} - 1)t - \sqrt{3} < 0$.

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4t^2 - 2(\sqrt{3} - 1)t - \sqrt{3} = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-2(\sqrt{3} - 1))^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-\sqrt{3}) = 4(3 - 2\sqrt{3} + 1) + 16\sqrt{3} = 4(4 - 2\sqrt{3}) + 16\sqrt{3} = 16 - 8\sqrt{3} + 16\sqrt{3} = 16 + 8\sqrt{3}$.

Чтобы извлечь корень из дискриминанта, представим его в виде полного квадрата: $16 + 8\sqrt{3} = 12 + 4 + 2 \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{4} = (\sqrt{12} + \sqrt{4})^2 = (2\sqrt{3} + 2)^2$.

Тогда $\sqrt{D} = \sqrt{(2\sqrt{3} + 2)^2} = 2\sqrt{3} + 2 = 2(\sqrt{3} + 1)$.

Найдем корни уравнения по формуле:

$t_{1,2} = \frac{-(-2(\sqrt{3} - 1)) \pm 2(\sqrt{3} + 1)}{2 \cdot 4} = \frac{2(\sqrt{3} - 1) \pm 2(\sqrt{3} + 1)}{8} = \frac{(\sqrt{3} - 1) \pm (\sqrt{3} + 1)}{4}$.

$t_1 = \frac{\sqrt{3} - 1 + \sqrt{3} + 1}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$t_2 = \frac{\sqrt{3} - 1 - (\sqrt{3} + 1)}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Так как ветви параболы $y(t) = 4t^2 - 2(\sqrt{3} - 1)t - \sqrt{3}$ направлены вверх ($a=4>0$), неравенство $y(t) < 0$ выполняется между корнями: $-\frac{1}{2} < t < \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Оба корня и полученный интервал удовлетворяют условию $-1 \le t \le 1$.

Вернемся к исходной переменной, сделав обратную замену $t = \sin x$: $-\frac{1}{2} < \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решим это двойное неравенство с помощью единичной окружности. Нам нужны углы $x$, для которых ордината соответствующей точки на окружности находится строго между $-\frac{1}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это соответствует двум открытым дугам на окружности:

1. Первая дуга начинается от угла, синус которого равен $-\frac{1}{2}$ (это угол $-\frac{\pi}{6}$), и идет против часовой стрелки до угла, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (это угол $\frac{\pi}{3}$). С учетом периодичности синуса получаем: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Вторая дуга начинается от угла $\frac{2\pi}{3}$ (где $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$) и идет до угла $\frac{7\pi}{6}$ (где $\sin x = -\frac{1}{2}$). С учетом периодичности получаем: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k) \cup (\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим неравенство $4 \cos^2 x - 2(\sqrt{3} + 1)\cos x + \sqrt{3} \ge 0$.

Это квадратное неравенство относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$, где $-1 \le t \le 1$.

Неравенство принимает вид: $4t^2 - 2(\sqrt{3} + 1)t + \sqrt{3} \ge 0$.

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4t^2 - 2(\sqrt{3} + 1)t + \sqrt{3} = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-2(\sqrt{3} + 1))^2 - 4 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = 4(3 + 2\sqrt{3} + 1) - 16\sqrt{3} = 4(4 + 2\sqrt{3}) - 16\sqrt{3} = 16 + 8\sqrt{3} - 16\sqrt{3} = 16 - 8\sqrt{3}$.

Представим дискриминант в виде полного квадрата: $16 - 8\sqrt{3} = 12 + 4 - 2 \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{4} = (\sqrt{12} - \sqrt{4})^2 = (2\sqrt{3} - 2)^2$.

Тогда $\sqrt{D} = \sqrt{(2\sqrt{3} - 2)^2} = 2\sqrt{3} - 2 = 2(\sqrt{3} - 1)$.

Найдем корни уравнения по формуле:

$t_{1,2} = \frac{-(-2(\sqrt{3} + 1)) \pm 2(\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4} = \frac{2(\sqrt{3} + 1) \pm 2(\sqrt{3} - 1)}{8} = \frac{(\sqrt{3} + 1) \pm (\sqrt{3} - 1)}{4}$.

$t_1 = \frac{\sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} - 1}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$t_2 = \frac{\sqrt{3} + 1 - (\sqrt{3} - 1)}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Так как ветви параболы $y(t) = 4t^2 - 2(\sqrt{3} + 1)t + \sqrt{3}$ направлены вверх ($a=4>0$), неравенство $y(t) \ge 0$ выполняется вне интервала между корнями, включая сами корни: $t \le \frac{1}{2}$ или $t \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Оба корня и полученные промежутки удовлетворяют условию $-1 \le t \le 1$.

Вернемся к исходной переменной, сделав обратную замену $t = \cos x$: $\cos x \le \frac{1}{2}$ или $\cos x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решим каждое неравенство отдельно с помощью единичной окружности.

1. Неравенство $\cos x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это соответствует углам, для которых абсцисса точки на единичной окружности больше или равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Решением является замкнутая дуга (отрезок): $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Неравенство $\cos x \le \frac{1}{2}$. Это соответствует углам, для которых абсцисса точки на единичной окружности меньше или равна $\frac{1}{2}$. Решением является замкнутая дуга: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения этих двух неравенств, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k] \cup [\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{5\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.