Номер 23.45, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.45. $\cos^2 3x - 2 \cos 2x \cos 3x + 1 = 0.$

Данное уравнение $ \cos^2 3x - 2 \cos 2x \cos 3x + 1 = 0 $ можно рассматривать как квадратное уравнение относительно $ \cos 3x $. Однако, более изящный способ решения — это преобразование выражения методом выделения полного квадрата.

Перепишем уравнение, добавив и вычтя $ \cos^2 2x $: $ \cos^2 3x - 2 \cos 2x \cos 3x + \cos^2 2x - \cos^2 2x + 1 = 0 $

Теперь сгруппируем слагаемые следующим образом: $ (\cos^2 3x - 2 \cos 2x \cos 3x + \cos^2 2x) + (1 - \cos^2 2x) = 0 $

Выражение в первой скобке представляет собой формулу квадрата разности: $ (\cos 3x - \cos 2x)^2 $. Для второй скобки применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, из которого следует, что $ 1 - \cos^2 2x = \sin^2 2x $. Подставив эти преобразования в уравнение, получим: $ (\cos 3x - \cos 2x)^2 + \sin^2 2x = 0 $

Мы получили сумму двух неотрицательных слагаемых, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Это приводит к системе уравнений: $ \begin{cases} \cos 3x - \cos 2x = 0 \\ \sin 2x = 0 \end{cases} $

Начнем с решения второго уравнения системы: $ \sin 2x = 0 $ Это уравнение имеет решения, когда аргумент синуса равен $ k\pi $, где $ k $ — любое целое число. $ 2x = k\pi $ $ x = \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} $

Теперь подставим найденные значения $ x $ в первое уравнение системы, $ \cos 3x = \cos 2x $, чтобы найти те значения $ k $, которые удовлетворяют обоим условиям. $ \cos\left(3 \cdot \frac{k\pi}{2}\right) = \cos\left(2 \cdot \frac{k\pi}{2}\right) $ $ \cos\left(\frac{3k\pi}{2}\right) = \cos(k\pi) $

Известно, что $ \cos(k\pi) = (-1)^k $. Проверим, для каких целых $ k $ выполняется равенство $ \cos\left(\frac{3k\pi}{2}\right) = (-1)^k $.

1. Пусть $ k $ — четное число, т.е. $ k = 2n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. В этом случае $ x = \frac{2n\pi}{2} = n\pi $. Равенство принимает вид: $ \cos\left(\frac{3 \cdot 2n\pi}{2}\right) = (-1)^{2n} $ $ \cos(3n\pi) = 1 $ Так как $ \cos(3n\pi) = (-1)^{3n} $, получаем $ (-1)^{3n} = 1 $. Это верно, только если показатель степени $ 3n $ является четным числом. Поскольку 3 — нечетное, это требует, чтобы $ n $ было четным. Пусть $ n = 2m $, где $ m \in \mathbb{Z} $. Тогда решениями являются $ x = n\pi = 2m\pi $.

2. Пусть $ k $ — нечетное число, т.е. $ k = 2n + 1 $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Равенство принимает вид: $ \cos\left(\frac{3(2n+1)\pi}{2}\right) = (-1)^{2n+1} $ $ \cos\left(3n\pi + \frac{3\pi}{2}\right) = -1 $ Используя формулу косинуса суммы, левая часть равна $ \cos(3n\pi)\cos(\frac{3\pi}{2}) - \sin(3n\pi)\sin(\frac{3\pi}{2}) $. Поскольку $ \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0 $ и $ \sin(3n\pi) = 0 $, левая часть обращается в ноль. Мы приходим к неверному равенству $ 0 = -1 $. Значит, при нечетных $ k $ решений нет.

Итак, решения существуют только в первом случае, когда $ x $ имеет вид $ 2m\pi $, где $ m $ — любое целое число. Заменим $ m $ на $ k $ для стандартной записи ответа.

Ответ: $ x = 2k\pi, k \in \mathbb{Z} $