Номер 24.5, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.5. a) $\cos(\alpha - \beta) - \cos\alpha \cos\beta$;

б) $\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$;

в) $\sin\alpha \cos\beta - \sin(\alpha - \beta)$;

г) $\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$.

а) Чтобы упростить выражение $cos(\alpha - \beta) - cos \alpha cos \beta$, воспользуемся формулой косинуса разности двух углов:
$cos(\alpha - \beta) = cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta$.
Подставим это разложение в исходное выражение:
$(cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta) - cos \alpha cos \beta$.
Сокращаем подобные слагаемые $cos \alpha cos \beta$ и $-cos \alpha cos \beta$:
$cos \alpha cos \beta - cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta = sin \alpha sin \beta$.
Ответ: $sin \alpha sin \beta$.

б) Чтобы упростить выражение $sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta)$, используем формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:
$sin(\alpha + \beta) = sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta$
$sin(\alpha - \beta) = sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta$
Подставим эти формулы в исходное выражение:
$(sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta) + (sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Члены $cos \alpha sin \beta$ и $-cos \alpha sin \beta$ взаимно уничтожаются:
$sin \alpha cos \beta + sin \alpha cos \beta = 2 sin \alpha cos \beta$.
Ответ: $2 sin \alpha cos \beta$.

в) Чтобы упростить выражение $sin \alpha cos \beta - sin(\alpha - \beta)$, воспользуемся формулой синуса разности двух углов:
$sin(\alpha - \beta) = sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta$.
Подставим это разложение в исходное выражение:
$sin \alpha cos \beta - (sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta)$.
Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых внутри них:
$sin \alpha cos \beta - sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta$.
Сокращаем подобные слагаемые $sin \alpha cos \beta$ и $-sin \alpha cos \beta$:
$cos \alpha sin \beta$.
Ответ: $cos \alpha sin \beta$.

г) Чтобы упростить выражение $cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta)$, используем формулы косинуса разности и косинуса суммы двух углов:
$cos(\alpha - \beta) = cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta$
$cos(\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta$
Подставим эти формулы в исходное выражение:
$(cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta) - (cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta)$.
Раскроем скобки. Обратите внимание на смену знака перед вторым слагаемым во второй скобке:
$cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta - cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta$.
Члены $cos \alpha cos \beta$ и $-cos \alpha cos \beta$ взаимно уничтожаются, а члены $sin \alpha sin \beta$ складываются:
$sin \alpha sin \beta + sin \alpha sin \beta = 2 sin \alpha sin \beta$.
Ответ: $2 sin \alpha sin \beta$.