Номер 24.8, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Докажите тождество:

24.8. a) $ \sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\cos(-\beta) = \sin \alpha \cos \beta; $

б) $ \cos(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\sin(-\beta) = \sin \alpha \cos \beta. $

а) $ \sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\cos(-\beta) = \sin \alpha \cos \beta $

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулой синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $, а также свойствами четности и нечетности тригонометрических функций: $ \sin(-\alpha) = -\sin \alpha $ (нечетная функция) и $ \cos(-\beta) = \cos \beta $ (четная функция).

Подставим эти выражения в левую часть тождества (обозначим ее Л.Ч.):
Л.Ч. = $ \sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\cos(-\beta) = (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) + (-\sin \alpha)(\cos \beta) $
Л.Ч. = $ \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta - \sin \alpha \cos \beta $
После сокращения подобных слагаемых ($ \sin \alpha \cos \beta $ и $ -\sin \alpha \cos \beta $) получаем:
Л.Ч. = $ \cos \alpha \sin \beta $

Теперь сравним полученное выражение с правой частью (П.Ч.) исходного тождества: П.Ч. = $ \sin \alpha \cos \beta $.
В результате преобразований мы приходим к равенству $ \cos \alpha \sin \beta = \sin \alpha \cos \beta $, которое не является тождеством, так как оно верно не для всех значений $ \alpha $ и $ \beta $.

Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее вероятная опечатка — в правой части. Если бы правая часть была $ \cos \alpha \sin \beta $, тождество было бы верным. Докажем скорректированное тождество:
$ \sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\cos(-\beta) = \cos \alpha \sin \beta $

Как мы уже показали выше, левая часть тождественно равна $ \cos \alpha \sin \beta $. Правая часть скорректированного тождества также равна $ \cos \alpha \sin \beta $. Поскольку левая и правая части равны, скорректированное тождество доказано.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством, так как его левая часть тождественно равна $ \cos \alpha \sin \beta $, а правая — $ \sin \alpha \cos \beta $. Тождество становится верным, если его правая часть равна $ \cos \alpha \sin \beta $.

б) $ \cos(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\sin(-\beta) = \sin \alpha \cos \beta $

Преобразуем левую часть данного выражения. Используем формулу косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $ и свойство нечетности синуса $ \sin(-x) = -\sin x $.

Подставим эти выражения в левую часть (Л.Ч.):
Л.Ч. = $ \cos(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\sin(-\beta) = (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + (-\sin \alpha)(-\sin \beta) $
Л.Ч. = $ \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta + \sin \alpha \sin \beta $
Сокращаем взаимно противоположные слагаемые $ -\sin \alpha \sin \beta $ и $ \sin \alpha \sin \beta $:
Л.Ч. = $ \cos \alpha \cos \beta $

Правая часть (П.Ч.) исходного равенства: П.Ч. = $ \sin \alpha \cos \beta $.
Таким образом, мы приходим к равенству $ \cos \alpha \cos \beta = \sin \alpha \cos \beta $, которое не является тождеством, так как оно выполняется не для всех значений $ \alpha $ и $ \beta $.

Здесь также, по-видимому, имеется опечатка в условии. Если предположить, что в правой части вместо $ \sin \alpha $ должен стоять $ \cos \alpha $, тождество будет верным. Докажем скорректированное тождество:
$ \cos(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\sin(-\beta) = \cos \alpha \cos \beta $

Как было показано при преобразовании, левая часть равна $ \cos \alpha \cos \beta $. Правая часть скорректированного тождества также равна $ \cos \alpha \cos \beta $. Поскольку левая и правая части равны, скорректированное тождество доказано.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством. Его левая часть тождественно равна $ \cos \alpha \cos \beta $, а правая — $ \sin \alpha \cos \beta $. Тождество становится верным, если его правая часть равна $ \cos \alpha \cos \beta $.