Номер 24.15, страница 152, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите:

24.15. a) $\sin 74^\circ \cos 16^\circ + \cos 74^\circ \sin 16^\circ;$

б) $\cos 23^\circ \cos 22^\circ - \sin 23^\circ \sin 22^\circ;$

в) $\sin 89^\circ \cos 1^\circ + \cos 89^\circ \sin 1^\circ;$

г) $\cos 178^\circ \cos 2^\circ - \sin 178^\circ \sin 2^\circ.$

а) Для вычисления значения выражения $ \sin 74^\circ \cos 16^\circ + \cos 74^\circ \sin 16^\circ $ применяется формула синуса суммы двух углов, которая имеет вид: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $. В данном выражении $ \alpha = 74^\circ $ и $ \beta = 16^\circ $. Применяя формулу, сворачиваем выражение: $ \sin 74^\circ \cos 16^\circ + \cos 74^\circ \sin 16^\circ = \sin(74^\circ + 16^\circ) = \sin(90^\circ) $. Значение синуса $ 90^\circ $ является табличным и равно 1.
Ответ: 1

б) Выражение $ \cos 23^\circ \cos 22^\circ - \sin 23^\circ \sin 22^\circ $ соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $. В этом случае $ \alpha = 23^\circ $ и $ \beta = 22^\circ $. Подставим эти значения в формулу: $ \cos 23^\circ \cos 22^\circ - \sin 23^\circ \sin 22^\circ = \cos(23^\circ + 22^\circ) = \cos(45^\circ) $. Табличное значение косинуса $ 45^\circ $ равно $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

в) Выражение $ \sin 89^\circ \cos 1^\circ + \cos 89^\circ \sin 1^\circ $ также, как и в пункте 'а', вычисляется с помощью формулы синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $. Здесь $ \alpha = 89^\circ $ и $ \beta = 1^\circ $. $ \sin 89^\circ \cos 1^\circ + \cos 89^\circ \sin 1^\circ = \sin(89^\circ + 1^\circ) = \sin(90^\circ) $. Результат вычисления равен 1.
Ответ: 1

г) Выражение $ \cos 178^\circ \cos 2^\circ - \sin 178^\circ \sin 2^\circ $ вычисляется по формуле косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $. В данном случае $ \alpha = 178^\circ $ и $ \beta = 2^\circ $. $ \cos 178^\circ \cos 2^\circ - \sin 178^\circ \sin 2^\circ = \cos(178^\circ + 2^\circ) = \cos(180^\circ) $. Табличное значение косинуса $ 180^\circ $ равно -1.
Ответ: -1