Номер 24.12, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.12. а) $\frac{\sqrt{2} \cos \alpha - 2 \cos \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}{2 \sin \left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \sqrt{3} \sin \alpha} = -\sqrt{2} \operatorname{tg} \alpha;$

б) $\frac{\cos \alpha - 2 \cos \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)}{2 \sin \left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) - \sqrt{3} \sin \alpha} = -\sqrt{3} \operatorname{tg} \alpha.$

а)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Упростим отдельно числитель и знаменатель дроби.

Сначала преобразуем числитель $\sqrt{2} \cos \alpha - 2 \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)$.
Применим формулу косинуса разности $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ и значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{4}$:
$\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \cos\frac{\pi}{4} \cos\alpha + \sin\frac{\pi}{4} \sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha)$.
Подставим полученное выражение в числитель:
$\sqrt{2} \cos\alpha - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) = \sqrt{2} \cos\alpha - \sqrt{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) = \sqrt{2} \cos\alpha - \sqrt{2} \cos\alpha - \sqrt{2} \sin\alpha = -\sqrt{2} \sin\alpha$.

Теперь преобразуем знаменатель $2 \sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) - \sqrt{3} \sin\alpha$.
Применим формулу синуса суммы $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ и значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{6}$:
$\sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \sin\frac{\pi}{6} \cos\alpha + \cos\frac{\pi}{6} \sin\alpha = \frac{1}{2} \cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha$.
Подставим полученное выражение в знаменатель:
$2(\frac{1}{2} \cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha) - \sqrt{3} \sin\alpha = \cos\alpha + \sqrt{3} \sin\alpha - \sqrt{3} \sin\alpha = \cos\alpha$.

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$\frac{-\sqrt{2} \sin\alpha}{\cos\alpha} = -\sqrt{2} \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\sqrt{2} \operatorname{tg} \alpha$.
Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Тождество доказано для всех допустимых значений $\alpha$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $\cos\alpha \neq 0$, что совпадает с областью определения тангенса ($\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: Тождество доказано.

б)

Для доказательства второго тождества также преобразуем его левую часть, упростив числитель и знаменатель.

Преобразуем числитель $\cos\alpha - 2 \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)$.
Используем формулу косинуса суммы $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ и значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{3}$:
$\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \cos\frac{\pi}{3} \cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3} \sin\alpha = \frac{1}{2} \cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha$.
Подставим это выражение в числитель:
$\cos\alpha - 2(\frac{1}{2} \cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha) = \cos\alpha - \cos\alpha + \sqrt{3} \sin\alpha = \sqrt{3} \sin\alpha$.

Преобразуем знаменатель $2 \sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) - \sqrt{3} \sin\alpha$.
Используем формулу синуса разности $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ и значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{6}$:
$\sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \sin\alpha \cos\frac{\pi}{6} - \cos\alpha \sin\frac{\pi}{6} = \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos\alpha \cdot \frac{1}{2}$.
Подставим это выражение в знаменатель:
$2(\sin\alpha \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos\alpha \frac{1}{2}) - \sqrt{3} \sin\alpha = \sqrt{3} \sin\alpha - \cos\alpha - \sqrt{3} \sin\alpha = -\cos\alpha$.

Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$\frac{\sqrt{3} \sin\alpha}{-\cos\alpha} = -\sqrt{3} \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\sqrt{3} \operatorname{tg} \alpha$.
Полученное выражение равно правой части исходного равенства. Тождество доказано для всех допустимых значений $\alpha$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $\cos\alpha \neq 0$ ($\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: Тождество доказано.