Номер 24.11, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.11. a) $\cos (\alpha - \beta) + \sin (-\alpha) \sin \beta = \cos \alpha \cos \beta;$

б) $\sin (30^\circ - \alpha) - \cos (60^\circ - \alpha) = -\sqrt{3} \sin \alpha;$

в) $\sin (\alpha - \beta) - \cos \alpha \sin (-\beta) = \sin \alpha \cos \beta;$

г) $\sin (30^\circ - \alpha) + \sin (30^\circ + \alpha) = \cos \alpha.$

а) Для доказательства тождества $ \cos(\alpha - \beta) + \sin(-\alpha)\sin\beta = \cos\alpha \cos\beta $ преобразуем его левую часть.
Используем формулу косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $ и свойство нечетности синуса $ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $.
Подставим эти выражения в левую часть равенства:
$ \cos(\alpha - \beta) + \sin(-\alpha)\sin\beta = (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) + (-\sin\alpha)\sin\beta $
$ = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta - \sin\alpha \sin\beta $
$ = \cos\alpha \cos\beta $
Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $ \sin(30^\circ - \alpha) - \cos(60^\circ - \alpha) = -\sqrt{3}\sin\alpha $ преобразуем его левую часть.
Используем формулу синуса разности $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $ и косинуса разности $ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $.
$ \sin(30^\circ - \alpha) = \sin 30^\circ \cos\alpha - \cos 30^\circ \sin\alpha $
$ \cos(60^\circ - \alpha) = \cos 60^\circ \cos\alpha + \sin 60^\circ \sin\alpha $
Подставим известные значения тригонометрических функций: $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $, $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
$ \sin(30^\circ - \alpha) - \cos(60^\circ - \alpha) = \left(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) - \left(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) $
$ = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $
$ = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = -\sqrt{3}\sin\alpha $
Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

в) Для доказательства тождества $ \sin(\alpha - \beta) - \cos\alpha \sin(-\beta) = \sin\alpha \cos\beta $ преобразуем его левую часть.
Используем формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $ и свойство нечетности синуса $ \sin(-\beta) = -\sin\beta $.
Подставим эти выражения в левую часть равенства:
$ \sin(\alpha - \beta) - \cos\alpha \sin(-\beta) = (\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta) - \cos\alpha(-\sin\beta) $
$ = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta + \cos\alpha \sin\beta $
$ = \sin\alpha \cos\beta $
Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

г) Для доказательства тождества $ \sin(30^\circ - \alpha) + \sin(30^\circ + \alpha) = \cos\alpha $ преобразуем его левую часть.
Используем формулу синуса разности $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $ и синуса суммы $ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $.
$ \sin(30^\circ - \alpha) + \sin(30^\circ + \alpha) = (\sin 30^\circ \cos\alpha - \cos 30^\circ \sin\alpha) + (\sin 30^\circ \cos\alpha + \cos 30^\circ \sin\alpha) $
$ = \sin 30^\circ \cos\alpha - \cos 30^\circ \sin\alpha + \sin 30^\circ \cos\alpha + \cos 30^\circ \sin\alpha $
$ = 2 \sin 30^\circ \cos\alpha $
Подставим известное значение $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $:
$ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cos\alpha = \cos\alpha $
Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.