Номер 24.9, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.9. а) $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x = \sin\left(\frac{\pi}{3} + x\right)$;

б) $\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{3} + x\right)$;

в) $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x = \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$;

г) $\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$.

а)

Преобразуем правую часть уравнения $\sin\left(\frac{\pi}{3} + x\right)$, используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
$\sin\left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos x + \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin x$.
Зная, что $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, подставляем эти значения:
$\sin\left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x$.
Таким образом, исходное уравнение принимает вид:
$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x$.
Это равенство является тождеством, так как оно верно при любых действительных значениях $x$.
Ответ: $x$ — любое действительное число.

б)

Преобразуем правую часть уравнения $\cos\left(\frac{\pi}{3} + x\right)$, используя формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
$\cos\left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos x - \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin x$.
Зная, что $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставляем эти значения:
$\cos\left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$.
Таким образом, исходное уравнение принимает вид:
$\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$.
Это равенство является тождеством, так как оно верно при любых действительных значениях $x$.
Ответ: $x$ — любое действительное число.

в)

Преобразуем правую часть уравнения $\sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$, используя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.
$\sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos x - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin x$.
Зная, что $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, подставляем эти значения:
$\sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x$.
Таким образом, исходное уравнение принимает вид:
$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x$.
Это равенство является тождеством, так как оно верно при любых действительных значениях $x$.
Ответ: $x$ — любое действительное число.

г)

Преобразуем правую часть уравнения $\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$, используя формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.
$\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos x + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin x$.
Зная, что $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставляем эти значения:
$\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$.
Таким образом, исходное уравнение принимает вид:
$\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$.
Это равенство является тождеством, так как оно верно при любых действительных значениях $x$.
Ответ: $x$ — любое действительное число.