Номер 24.3, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Упростите выражение:

24.3. a) $\sin (\alpha + \beta) - \sin \alpha \cos \beta;$

б) $\sin \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) - \frac{1}{2} \sin \alpha;$

в) $\sin \alpha \sin \beta + \cos (\alpha + \beta);$

г) $\cos \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha.$

а) Для упрощения выражения $ \sin(\alpha + \beta) - \sin\alpha \cos\beta $ воспользуемся формулой синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.
Подставим эту формулу в исходное выражение:
$ (\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta) - \sin\alpha \cos\beta $
Приведем подобные слагаемые:
$ \sin\alpha \cos\beta - \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta = \cos\alpha \sin\beta $
Ответ: $ \cos\alpha \sin\beta $

б) Для упрощения выражения $ \sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) - \frac{1}{2}\sin\alpha $ воспользуемся формулой синуса суммы: $ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $.
Раскроем $ \sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{3} \cos\alpha + \cos\frac{\pi}{3} \sin\alpha $.
Зная, что $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $, подставим эти значения:
$ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\alpha + \frac{1}{2} \sin\alpha $
Теперь подставим это в исходное выражение:
$ \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\alpha + \frac{1}{2} \sin\alpha\right) - \frac{1}{2}\sin\alpha $
Приведем подобные слагаемые:
$ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\alpha + \frac{1}{2} \sin\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\alpha $
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\alpha $

в) Для упрощения выражения $ \sin\alpha \sin\beta + \cos(\alpha + \beta) $ воспользуемся формулой косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.
Подставим эту формулу в исходное выражение:
$ \sin\alpha \sin\beta + (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) $
Приведем подобные слагаемые:
$ \sin\alpha \sin\beta - \sin\alpha \sin\beta + \cos\alpha \cos\beta = \cos\alpha \cos\beta $
Ответ: $ \cos\alpha \cos\beta $

г) Для упрощения выражения $ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha $ воспользуемся формулой косинуса суммы: $ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $.
Раскроем $ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\alpha \cos\frac{\pi}{4} - \sin\alpha \sin\frac{\pi}{4} $.
Зная, что $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, подставим эти значения:
$ \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $
Теперь подставим это в исходное выражение:
$ \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\alpha\right) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha $
Приведем подобные слагаемые:
$ \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\alpha $
Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\alpha $