Номер 24.2, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.2. Вычислите:

а) $ \sin 15^\circ $;

б) $ \cos 15^\circ $;

в) $ \sin 15^\circ \cos 15^\circ $;

г) $ \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ $.

а)

Для вычисления $ \sin 15^\circ $ представим $ 15^\circ $ как разность двух известных углов, например, $ 45^\circ $ и $ 30^\circ $.

Воспользуемся формулой синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $.

Подставим $ \alpha = 45^\circ $ и $ \beta = 30^\circ $:

$ \sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ $

Мы знаем значения тригонометрических функций для этих углов:

$ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.

Подставим эти значения в наше выражение:

$ \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $

б)

Аналогично, для вычисления $ \cos 15^\circ $ используем представление $ 15^\circ = 45^\circ - 30^\circ $.

Воспользуемся формулой косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $.

Подставим $ \alpha = 45^\circ $ и $ \beta = 30^\circ $:

$ \cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ $

Подставляем известные значения:

$ \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $

в)

Для вычисления выражения $ \sin 15^\circ \cos 15^\circ $ удобно использовать формулу синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha $.

Из этой формулы можно выразить произведение синуса на косинус: $ \sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha) $.

В нашем случае $ \alpha = 15^\circ $, тогда $ 2\alpha = 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ $.

$ \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \sin(30^\circ) $

Так как $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:

$ \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $.

Ответ: $ \frac{1}{4} $

г)

Для вычисления выражения $ \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ $ используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $.

В нашем случае $ \alpha = 15^\circ $, тогда $ 2\alpha = 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ $.

$ \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos 30^\circ $

Так как $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то:

$ \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $