Номер 23.44, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.44. а) $ \frac{2 \cos^2 x + 5|\cos x| - 3}{2 \sin x + \sqrt{3}} = 0; $

б) $ \frac{2 \sin^2 x + |\sin x| - 1}{4 \cos^2 x - 3} = 0. $

а)

Решим уравнение $\frac{2 \cos^2 x + 5 |\cos x| - 3}{2 \sin x + \sqrt{3}} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} 2 \cos^2 x + 5 |\cos x| - 3 = 0 \\ 2 \sin x + \sqrt{3} \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение числителя: $2 \cos^2 x + 5 |\cos x| - 3 = 0$.

Так как $\cos^2 x = (|\cos x|)^2$, сделаем замену $t = |\cos x|$. Учитывая, что $|\cos x|$ может принимать значения от 0 до 1, получаем ограничение $0 \le t \le 1$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения: $2t^2 + 5t - 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$

$t_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Корень $t_1 = -3$ не удовлетворяет условию $0 \le t \le 1$, так как модуль не может быть отрицательным. Следовательно, он является посторонним.

Корень $t_2 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию. Возвращаемся к исходной переменной:

$|\cos x| = \frac{1}{2}$

Это равносильно двум случаям:

$\cos x = \frac{1}{2}$, откуда $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$\cos x = -\frac{1}{2}$, откуда $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Проверим условие для знаменателя: $2 \sin x + \sqrt{3} \neq 0$.

Отсюда $\sin x \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Этому условию не удовлетворяют значения $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$ (что то же самое, что $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Совместим результаты.

Из полученных серий решений для числителя мы должны исключить те, которые обращают знаменатель в ноль.

Проверим каждую серию решений:

- Для серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, имеем $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Знаменатель $2 \sin x + \sqrt{3} = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \neq 0$. Эта серия подходит.

- Для серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, имеем $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Знаменатель $2 \sin x + \sqrt{3} = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3} = 0$. Эта серия не подходит.

- Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, имеем $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Знаменатель $2 \sin x + \sqrt{3} = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \neq 0$. Эта серия подходит.

- Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, имеем $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Знаменатель $2 \sin x + \sqrt{3} = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3} = 0$. Эта серия не подходит.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим уравнение $\frac{2 \sin^2 x + |\sin x| - 1}{4 \cos^2 x - 3} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 2 \sin^2 x + |\sin x| - 1 = 0 \\ 4 \cos^2 x - 3 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение числителя: $2 \sin^2 x + |\sin x| - 1 = 0$.

Сделаем замену $y = |\sin x|$, где $0 \le y \le 1$.

Получаем квадратное уравнение: $2y^2 + y - 1 = 0$.

Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.

Корни:

$y_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$

$y_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Корень $y_1 = -1$ не подходит, так как $y \ge 0$.

Корень $y_2 = \frac{1}{2}$ подходит. Возвращаемся к замене:

$|\sin x| = \frac{1}{2}$

Из этого следует, что $\sin^2 x = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

2. Проверим условие для знаменателя: $4 \cos^2 x - 3 \neq 0$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, откуда $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим в выражение для знаменателя значение $\sin^2 x = \frac{1}{4}$, которое мы получили из уравнения числителя:

$\cos^2 x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Теперь подставим это значение в само выражение знаменателя:

$4 \cos^2 x - 3 = 4 \cdot \frac{3}{4} - 3 = 3 - 3 = 0$.

Получается, что при всех значениях $x$, при которых числитель обращается в ноль, знаменатель также обращается в ноль. Деление на ноль не определено, поэтому исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.