Номер 24.1, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.1. Представив $105^\circ$ как сумму $60^\circ + 45^\circ$, вычислите:

а) $\sin 105^\circ$;

б) $\cos 105^\circ$.

Для вычисления значений тригонометрических функций от угла $105^\circ$ воспользуемся формулами сложения:

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

$$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$

а) $\sin 105^\circ$

Представим угол как $60^\circ + 45^\circ$ и применим формулу синуса суммы:

$\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ$

Подставим табличные значения:

$\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

б) $\cos 105^\circ$

Применим формулу косинуса суммы:

$\cos 105^\circ = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ$

Подставим значения:

$\cos 105^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$