Номер 23.43, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

23.43. a) $| \sin x | (\cos x + 2 \sin x) = 2 - 2 \cos^2 x;$

б) $| \cos x | (2 \cos x - 3 \sin x) = 2.$

а) $|\sin x|(\cos x + 2 \sin x) = 2 - 2 \cos^2 x$

Преобразуем правую часть уравнения, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$2 - 2 \cos^2 x = 2(1 - \cos^2 x) = 2 \sin^2 x$.

Теперь уравнение имеет вид:

$|\sin x|(\cos x + 2 \sin x) = 2 \sin^2 x$.

Заметим, что $\sin^2 x = |\sin x|^2$. Перенесем все члены в одну сторону:

$|\sin x|(\cos x + 2 \sin x) - 2 |\sin x|^2 = 0$.

Вынесем $|\sin x|$ за скобки:

$|\sin x|(\cos x + 2 \sin x - 2 |\sin x|) = 0$.

Это уравнение распадается на два:

1) $|\sin x| = 0$, что равносильно $\sin x = 0$. Решениями этого уравнения являются $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x + 2 \sin x - 2 |\sin x| = 0$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $\sin x > 0$. В этом случае $|\sin x| = \sin x$.

$\cos x + 2 \sin x - 2 \sin x = 0$

$\cos x = 0$.

Решениями этого уравнения являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Учитывая условие $\sin x > 0$, отбираем корни. При $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ (для четных $m=2n$) имеем $\sin x = 1 > 0$. При $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$ (для нечетных $m=2n+1$) имеем $\sin x = -1 < 0$. Следовательно, подходят только корни $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\sin x < 0$. В этом случае $|\sin x| = -\sin x$.

$\cos x + 2 \sin x - 2(-\sin x) = 0$

$\cos x + 4 \sin x = 0$.

Если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно. Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части на $\cos x$:

$1 + 4 \tan x = 0$

$\tan x = -\frac{1}{4}$.

Решениями этого уравнения являются $x = \arctan(-\frac{1}{4}) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Учитывая условие $\sin x < 0$, отбираем корни. Угол $\arctan(-\frac{1}{4})$ находится в IV четверти, где синус отрицателен. Значит, нам подходят корни, которые также находятся в IV четверти. Это $x = \arctan(-\frac{1}{4}) + 2\pi n = -\arctan(\frac{1}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все найденные решения, получаем:

Ответ: $x = \pi k$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$; $x = -\arctan(\frac{1}{4}) + 2\pi m$, где $k, n, m \in \mathbb{Z}$.

б) $|\cos x|(2 \cos x - 3 \sin x) = 2$

Заметим, что если $\cos x = 0$, то левая часть уравнения равна 0, а правая равна 2. Равенство $0=2$ неверно, следовательно, $\cos x \neq 0$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $\cos x > 0$. В этом случае $|\cos x| = \cos x$.

$\cos x(2 \cos x - 3 \sin x) = 2$

$2 \cos^2 x - 3 \sin x \cos x = 2$.

Заменим 2 в правой части на $2(\sin^2 x + \cos^2 x)$:

$2 \cos^2 x - 3 \sin x \cos x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$

$-3 \sin x \cos x = 2 \sin^2 x$

$2 \sin^2 x + 3 \sin x \cos x = 0$

$\sin x (2 \sin x + 3 \cos x) = 0$.

Это уравнение распадается на два:

1) $\sin x = 0$. Учитывая условие $\cos x > 0$, получаем $\cos x = 1$. Подставим в исходное уравнение: $|1|(2 \cdot 1 - 3 \cdot 0) = 2 \implies 2=2$. Верно. Следовательно, $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ являются решениями.

2) $2 \sin x + 3 \cos x = 0$. Так как $\cos x \neq 0$, разделим на $\cos x$:

$2 \tan x + 3 = 0 \implies \tan x = -\frac{3}{2}$.

Решения: $x = \arctan(-\frac{3}{2}) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Нам нужны решения, для которых $\cos x > 0$. Это соответствует углам в I и IV четвертях. Угол $\arctan(-\frac{3}{2})$ находится в IV четверти, где косинус положителен. Значит, подходят корни $x = \arctan(-\frac{3}{2}) + 2\pi n = -\arctan(\frac{3}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\cos x < 0$. В этом случае $|\cos x| = -\cos x$.

$-\cos x(2 \cos x - 3 \sin x) = 2$

$-2 \cos^2 x + 3 \sin x \cos x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$

$-2 \cos^2 x + 3 \sin x \cos x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$

$2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 0$.

Это однородное уравнение. Разделим на $\cos^2 x$ (так как $\cos x \neq 0$):

$2 \tan^2 x - 3 \tan x + 4 = 0$.

Сделаем замену $t = \tan x$. Получим квадратное уравнение $2t^2 - 3t + 4 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23$.

Так как $D < 0$, действительных корней для $t$ нет. Следовательно, в этом случае решений нет.

Объединяя решения из первого случая, получаем:

Ответ: $x = 2\pi k$; $x = -\arctan(\frac{3}{2}) + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.