Номер 24.4, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.4. a) $\sin\left(\frac{5\pi}{6} - \alpha\right) - \frac{1}{2}\cos\alpha;$

б) $\sqrt{3}\cos\alpha - 2\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right);$

в) $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \cos\left(\alpha - \frac{5\pi}{3}\right);$

г) $\sqrt{2}\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) - \sin\alpha.$

а) Чтобы упростить выражение $ \sin(\frac{5\pi}{6} - \alpha) - \frac{1}{2}\cos\alpha $, воспользуемся формулой синуса разности: $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $.
Применим эту формулу к первому слагаемому, где $ A = \frac{5\pi}{6} $ и $ B = \alpha $:
$ \sin(\frac{5\pi}{6} - \alpha) = \sin(\frac{5\pi}{6})\cos\alpha - \cos(\frac{5\pi}{6})\sin\alpha $.
Вычислим значения синуса и косинуса для угла $ \frac{5\pi}{6} $:
$ \sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $
$ \cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $
Подставим найденные значения в раскрытое выражение:
$ \sin(\frac{5\pi}{6} - \alpha) = \frac{1}{2}\cos\alpha - (-\frac{\sqrt{3}}{2})\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $.
Теперь подставим результат в исходное выражение и выполним упрощение:
$ (\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) - \frac{1}{2}\cos\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $.

б) Для упрощения выражения $ \sqrt{3}\cos\alpha - 2\cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) $ используем формулу косинуса разности: $ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $.
Применим ее ко второму слагаемому, где $ A = \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{6} $:
$ \cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \cos\alpha\cos(\frac{\pi}{6}) + \sin\alpha\sin(\frac{\pi}{6}) $.
Значения тригонометрических функций для $ \frac{\pi}{6} $ известны:
$ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
$ \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $
Подставим эти значения:
$ \cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin\alpha \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha $.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$ \sqrt{3}\cos\alpha - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha) $.
Раскроем скобки и упростим:
$ \sqrt{3}\cos\alpha - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - 2 \cdot \frac{1}{2}\sin\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha - \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha = -\sin\alpha $.
Ответ: $ -\sin\alpha $.

в) Рассмотрим выражение $ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \cos(\alpha - \frac{5\pi}{3}) $. Для его упрощения снова применим формулу косинуса разности: $ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $.
Здесь $ A = \alpha $ и $ B = \frac{5\pi}{3} $:
$ \cos(\alpha - \frac{5\pi}{3}) = \cos\alpha\cos(\frac{5\pi}{3}) + \sin\alpha\sin(\frac{5\pi}{3}) $.
Вычислим значения для угла $ \frac{5\pi}{3} $, который находится в IV четверти:
$ \cos(\frac{5\pi}{3}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $
$ \sin(\frac{5\pi}{3}) = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $
Подставим значения в раскрытое выражение:
$ \cos(\alpha - \frac{5\pi}{3}) = \cos\alpha \cdot \frac{1}{2} + \sin\alpha \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $.
Подставим результат в исходное выражение:
$ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + (\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \frac{1}{2}\cos\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha $.
Ответ: $ \frac{1}{2}\cos\alpha $.

г) Упростим выражение $ \sqrt{2}\sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) - \sin\alpha $. Используем формулу синуса разности: $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $.
В нашем случае $ A = \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{4} $:
$ \sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sin\alpha\cos(\frac{\pi}{4}) - \cos\alpha\sin(\frac{\pi}{4}) $.
Значения синуса и косинуса для $ \frac{\pi}{4} $ равны:
$ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Подставляем их в формулу:
$ \sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha) $.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$ \sqrt{2} \cdot [\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha)] - \sin\alpha $.
Выполним умножение и упростим:
$ \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha) - \sin\alpha = \frac{2}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha) - \sin\alpha = 1 \cdot (\sin\alpha - \cos\alpha) - \sin\alpha $.
$ \sin\alpha - \cos\alpha - \sin\alpha = -\cos\alpha $.
Ответ: $ -\cos\alpha $.