Номер 24.6, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.6. а) $\frac{\sin (\alpha + \beta) - \cos \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha - \beta) + \cos \alpha \sin \beta}$

б) $\frac{\sin (\alpha - \beta) + 2 \cos \alpha \sin \beta}{2 \cos \alpha \cos \beta - \cos (\alpha - \beta)}$

в) $\frac{\cos (\alpha + \beta) + \sin \alpha \sin \beta}{\cos (\alpha - \beta) - \sin \alpha \sin \beta}$

г) $\frac{\cos (\alpha - \beta) - 2 \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin \alpha \cos \beta - \sin (\alpha - \beta)}$

а) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами синуса суммы и разности двух углов: $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$.
Рассмотрим числитель дроби:
$\sin(\alpha + \beta) - \cos\alpha\sin\beta = (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) - \cos\alpha\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta$.
Теперь рассмотрим знаменатель дроби:
$\sin(\alpha - \beta) + \cos\alpha\sin\beta = (\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) + \cos\alpha\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta$.
Таким образом, исходное выражение равно:
$\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\cos\beta} = 1$.
Ответ: $1$.

б) Используем формулы синуса и косинуса разности, а также формулы синуса и косинуса суммы: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$, $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$, $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ и $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
Упростим числитель:
$\sin(\alpha - \beta) + 2\cos\alpha\sin\beta = (\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) + 2\cos\alpha\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha + \beta)$.
Упростим знаменатель:
$2\cos\alpha\cos\beta - \cos(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta - (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) = 2\cos\alpha\cos\beta - \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha + \beta)$.
Получаем дробь:
$\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \text{tg}(\alpha + \beta)$.
Ответ: $\text{tg}(\alpha + \beta)$.

в) Для упрощения этого выражения применим формулы косинуса суммы и разности: $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$.
Преобразуем числитель:
$\cos(\alpha + \beta) + \sin\alpha\sin\beta = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + \sin\alpha\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta$.
Преобразуем знаменатель:
$\cos(\alpha - \beta) - \sin\alpha\sin\beta = (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) - \sin\alpha\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta$.
В результате получаем:
$\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = 1$.
Ответ: $1$.

г) Используем те же формулы тригонометрии, что и в предыдущих пунктах.
Упростим числитель дроби:
$\cos(\alpha - \beta) - 2\sin\alpha\sin\beta = (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) - 2\sin\alpha\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha + \beta)$.
Упростим знаменатель дроби:
$2\sin\alpha\cos\beta - \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta - (\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) = 2\sin\alpha\cos\beta - \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha + \beta)$.
В итоге выражение принимает вид:
$\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha + \beta)} = \text{ctg}(\alpha + \beta)$.
Ответ: $\text{ctg}(\alpha + \beta)$.