Номер 24.13, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Используя формулы сложения, выведите следующие формулы (их называют формулами приведения):

24.13. a) $ \sin(\pi - x) = \sin x $

б) $ \cos(\pi + x) = -\cos x $

в) $ \operatorname{tg}(2\pi - x) = -\operatorname{tg} x $

г) $ \operatorname{ctg}(\pi - x) = -\operatorname{ctg} x $

а)

Для вывода формулы $sin(\pi - x) = sin(x)$ воспользуемся формулой синуса разности двух углов: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.

Подставим в эту формулу $\alpha = \pi$ и $\beta = x$:

$sin(\pi - x) = sin(\pi)cos(x) - cos(\pi)sin(x)$

Зная значения тригонометрических функций для угла $\pi$: $sin(\pi) = 0$ и $cos(\pi) = -1$, подставим их в выражение:

$sin(\pi - x) = 0 \cdot cos(x) - (-1) \cdot sin(x) = 0 + sin(x) = sin(x)$.

Таким образом, формула $sin(\pi - x) = sin(x)$ доказана.

Ответ: $sin(\pi - x) = sin(x)$.

б)

Для вывода формулы $cos(\pi + x) = -cos(x)$ воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.

Подставим в эту формулу $\alpha = \pi$ и $\beta = x$:

$cos(\pi + x) = cos(\pi)cos(x) - sin(\pi)sin(x)$

Используем известные значения: $cos(\pi) = -1$ и $sin(\pi) = 0$.

$cos(\pi + x) = (-1) \cdot cos(x) - 0 \cdot sin(x) = -cos(x) - 0 = -cos(x)$.

Таким образом, формула $cos(\pi + x) = -cos(x)$ доказана.

Ответ: $cos(\pi + x) = -cos(x)$.

в)

Для вывода формулы $tg(2\pi - x) = -tg(x)$ воспользуемся определением тангенса $tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$ и формулами сложения для синуса и косинуса.

$tg(2\pi - x) = \frac{sin(2\pi - x)}{cos(2\pi - x)}$

Сначала найдем числитель, используя формулу синуса разности $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$:

$sin(2\pi - x) = sin(2\pi)cos(x) - cos(2\pi)sin(x)$.

Зная, что $sin(2\pi) = 0$ и $cos(2\pi) = 1$, получаем:

$sin(2\pi - x) = 0 \cdot cos(x) - 1 \cdot sin(x) = -sin(x)$.

Теперь найдем знаменатель, используя формулу косинуса разности $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$:

$cos(2\pi - x) = cos(2\pi)cos(x) + sin(2\pi)sin(x)$.

$cos(2\pi - x) = 1 \cdot cos(x) + 0 \cdot sin(x) = cos(x)$.

Подставим полученные выражения для синуса и косинуса в исходную формулу для тангенса:

$tg(2\pi - x) = \frac{-sin(x)}{cos(x)} = -tg(x)$.

Таким образом, формула $tg(2\pi - x) = -tg(x)$ доказана.

Ответ: $tg(2\pi - x) = -tg(x)$.

г)

Для вывода формулы $ctg(\pi - x) = -ctg(x)$ воспользуемся определением котангенса $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$ и формулами сложения для синуса и косинуса.

$ctg(\pi - x) = \frac{cos(\pi - x)}{sin(\pi - x)}$

Найдем числитель, используя формулу косинуса разности $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$:

$cos(\pi - x) = cos(\pi)cos(x) + sin(\pi)sin(x)$.

Зная, что $cos(\pi) = -1$ и $sin(\pi) = 0$, получаем:

$cos(\pi - x) = (-1) \cdot cos(x) + 0 \cdot sin(x) = -cos(x)$.

Знаменатель $sin(\pi - x)$ мы уже выводили в пункте а): $sin(\pi - x) = sin(x)$.

Подставим полученные выражения для косинуса и синуса в формулу для котангенса:

$ctg(\pi - x) = \frac{-cos(x)}{sin(x)} = -ctg(x)$.

Таким образом, формула $ctg(\pi - x) = -ctg(x)$ доказана.

Ответ: $ctg(\pi - x) = -ctg(x)$.