Номер 24.14, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.14. a) $ \sin \left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x; $

б) $ \cos \left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x; $

В) $ \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \operatorname{ctg} x; $

Г) $ \operatorname{ctg} \left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\operatorname{tg} x. $

а) Для доказательства тождества $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$ воспользуемся формулами приведения. Эти формулы позволяют упрощать тригонометрические выражения с углами вида $\frac{n\pi}{2} \pm x$.

Правило состоит из двух шагов:

1. Определение итоговой функции: если в скобках стоит угол, привязанный к вертикальной оси единичной окружности ($\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$), то функция меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот). В нашем случае аргумент $\frac{\pi}{2} + x$, значит, $\sin$ меняется на $\cos$.

2. Определение знака: знак результата определяется по знаку исходной функции в той четверти, в которой находится угол $\frac{\pi}{2} + x$. Если считать $x$ малым положительным углом (угол I четверти), то $\frac{\pi}{2} + x$ — это угол II четверти. Синус во II четверти положителен, поэтому перед косинусом будет стоять знак «+».

Собирая всё вместе, получаем: $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = +\cos x = \cos x$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$ верно.

б) Докажем тождество $\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x$ с помощью формул приведения.

1. Определение итоговой функции: в аргументе присутствует $\frac{3\pi}{2}$, поэтому функция косинус меняется на кофункцию — синус.

2. Определение знака: считая $x$ острым углом, угол $\frac{3\pi}{2} - x$ попадает в III четверть. Исходная функция, косинус, в III четверти отрицательна. Следовательно, перед итоговой функцией ставится знак «-».

Таким образом, $\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x$ верно.

в) Докажем тождество $\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \text{ctg}\,x$ с помощью формул приведения.

1. Определение итоговой функции: в аргументе присутствует $\frac{\pi}{2}$, поэтому функция тангенс меняется на кофункцию — котангенс.

2. Определение знака: считая $x$ острым углом, угол $\frac{\pi}{2} - x$ попадает в I четверть. Исходная функция, тангенс, в I четверти положительна. Следовательно, знак результата — «+».

Получаем: $\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = +\text{ctg}\,x = \text{ctg}\,x$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \text{ctg}\,x$ верно.

г) Докажем тождество $\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\text{tg}\,x$ с помощью формул приведения.

1. Определение итоговой функции: в аргументе присутствует $\frac{3\pi}{2}$, поэтому функция котангенс меняется на кофункцию — тангенс.

2. Определение знака: считая $x$ острым углом, угол $\frac{3\pi}{2} + x$ попадает в IV четверть. Исходная функция, котангенс, в IV четверти отрицательна (так как $\text{ctg}\, \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, а в IV четверти косинус положителен, а синус отрицателен). Следовательно, перед итоговой функцией ставится знак «-».

В результате получаем: $\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\text{tg}\,x$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\text{tg}\,x$ верно.