Номер 24.21, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.21. Решите уравнение:

а) $ \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x = 1; $

б) $ \cos 3x \cos 5x = \sin 3x \sin 5x; $

в) $ \sin 6x \cos x + \cos 6x \sin x = \frac{1}{2}; $

г) $ \cos 5x \cos 7x - \sin 5x \sin 7x = -\frac{\sqrt{3}}{2}. $

а) $ \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x = 1 $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $.

В нашем случае $ \alpha = 2x $ и $ \beta = x $. Применим формулу к левой части уравнения:

$ \sin(2x + x) = 1 $

$ \sin(3x) = 1 $

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение находится по формуле для частного случая $ \sin t = 1 $, где $ t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Подставим $ 3x $ вместо $ t $:

$ 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $

Чтобы найти $ x $, разделим обе части уравнения на 3:

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos 3x \cos 5x = \sin 3x \sin 5x $

Перенесем слагаемое из правой части уравнения в левую, изменив знак:

$ \cos 3x \cos 5x - \sin 3x \sin 5x = 0 $

Левая часть уравнения соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $. Порядок аргументов не важен, поэтому можно взять $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 3x $.

Применяя формулу, получаем:

$ \cos(5x + 3x) = 0 $

$ \cos(8x) = 0 $

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решение для частного случая $ \cos t = 0 $ имеет вид $ t = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Подставляем $ 8x $ вместо $ t $:

$ 8x = \frac{\pi}{2} + \pi n $

Разделим обе части на 8, чтобы найти $ x $:

$ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z} $.

в) $ \sin 6x \cos x + \cos 6x \sin x = -\frac{1}{2} $

Левая часть этого уравнения также соответствует формуле синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $.

Здесь $ \alpha = 6x $ и $ \beta = x $.

Уравнение преобразуется к виду:

$ \sin(6x + x) = -\frac{1}{2} $

$ \sin(7x) = -\frac{1}{2} $

Общее решение уравнения $ \sin t = a $ записывается как $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Найдем $ \arcsin(-\frac{1}{2}) $. Это значение равно $ -\frac{\pi}{6} $.

Подставляем в общую формулу:

$ 7x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n $

$ 7x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n $

Разделим обе части на 7:

$ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{42} + \frac{\pi n}{7} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{42} + \frac{\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z} $.

г) $ \cos 5x \cos 7x - \sin 5x \sin 7x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Левая часть уравнения представляет собой формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $.

В данном уравнении $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 7x $.

Применив формулу, получим:

$ \cos(5x + 7x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos(12x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Общее решение уравнения $ \cos t = a $ имеет вид $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Найдем $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) $. Это значение равно $ \frac{5\pi}{6} $.

Подставляем в общую формулу:

$ 12x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $

Разделим обе части на 12, чтобы выразить $ x $:

$ x = \pm \frac{5\pi}{72} + \frac{2\pi n}{12} $

Упростим дробь во втором слагаемом:

$ x = \pm \frac{5\pi}{72} + \frac{\pi n}{6} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{5\pi}{72} + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z} $.