Номер 24.27, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.27. a) $\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1;$

б) $\sin x + \cos x = 1;$

В) $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = 1;$

Г) $\sqrt{3} \cos x - \sin x = 1.$

Данное уравнение $\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = 1$ является уравнением вида $a \sin x + b \cos x = c$. Для его решения можно использовать формулы сложения аргументов.

Заметим, что коэффициенты при $\sin x$ и $\cos x$ равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Мы знаем, что $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\cos\frac{\pi}{4} \sin x + \sin\frac{\pi}{4} \cos x = 1$

Левая часть уравнения представляет собой развернутую формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.

Свернем левую часть по этой формуле:

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Синус равен единице, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$

Для решения уравнения $\sin x + \cos x = 1$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=1, b=1, c=1$.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Преобразуем коэффициенты:

$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Как и в предыдущем задании, заменим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\cos\frac{\pi}{4}$ и $\sin\frac{\pi}{4}$:

$\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Применим формулу синуса суммы:

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это уравнение имеет две серии решений:

1) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x=2\pi k, x=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$

Рассмотрим уравнение $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x = 1$.

Заметим, что $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Подставим эти значения в уравнение:

$\cos\frac{\pi}{6} \cos x - \sin\frac{\pi}{6} \sin x = 1$

Левая часть уравнения является развернутой формулой косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.

Свернем левую часть по этой формуле:

$\cos(x + \frac{\pi}{6}) = 1$

Косинус равен единице, когда его аргумент равен $2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

$x + \frac{\pi}{6} = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$

Решим уравнение $\sqrt{3}\cos x - \sin x = 1$ методом введения вспомогательного угла. Это уравнение вида $a \cos x + b \sin x = c$, где $a=\sqrt{3}, b=-1, c=1$.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$:

$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x = \frac{1}{2}$

Как и в задании в), заменим коэффициенты на тригонометрические функции угла $\frac{\pi}{6}$:

$\cos\frac{\pi}{6}\cos x - \sin\frac{\pi}{6}\sin x = \frac{1}{2}$

Применим формулу косинуса суммы:

$\cos(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Общее решение для такого уравнения имеет вид $x + \frac{\pi}{6} = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$. Так как $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$x + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Разобьем решение на две серии:

1) $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x=\frac{\pi}{6} + 2\pi k, x=-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$