Номер 24.26, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.26. а) $ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1; $

б) $ \sin x - \cos x = 1; $

В) $ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = 1; $

Г) $ \sqrt{3} \cos x + \sin x = 1. $

a) Исходное уравнение: $\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1$.

Данное уравнение можно преобразовать, используя формулу синуса разности. Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Левая часть уравнения представляет собой развернутую формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

Сворачивая левую часть, получаем:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 1$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:

$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\sin x - \cos x = 1$.

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=1, b=-1, c=1$. Решим его методом введения вспомогательного угла. Для этого разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Как и в предыдущем пункте, заменим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\cos(\frac{\pi}{4})$ и $\sin(\frac{\pi}{4})$:

$\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Применяя формулу синуса разности, получаем:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение этого уравнения распадается на две серии:

1) $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = 1$.

Это уравнение уже подготовлено для применения формулы косинуса разности. Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\cos x \cos(\frac{\pi}{6}) + \sin x \sin(\frac{\pi}{6}) = 1$.

Левая часть уравнения является развернутой формулой косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

Сворачивая левую часть, получаем:

$\cos(x - \frac{\pi}{6}) = 1$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$x - \frac{\pi}{6} = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:

$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $\sqrt{3} \cos x + \sin x = 1$.

Перепишем уравнение в стандартном виде: $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 1$. Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=1, b=\sqrt{3}, c=1$. Применим метод вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

$\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = \frac{1}{2}$.

Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим эти значения:

$\sin x \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, получаем:

$\sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Общее решение этого уравнения состоит из двух серий:

1) $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $x + \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \implies x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.