Номер 24.31, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.31. Зная, что $\sin \alpha = \frac{4}{5}$, $\cos \beta = -\frac{15}{17}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$,

найдите значение выражения:

a) $\sin (\alpha + \beta)$;

б) $\cos (\alpha + \beta)$.

Для решения задачи нам понадобятся значения $cos \alpha$ и $sin \beta$, которые мы найдем, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\theta + cos^2\theta = 1$ и информацию о четвертях, в которых находятся углы.

1. Найдем $cos \alpha$. Дано, что $sin \alpha = \frac{4}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Угол $\alpha$ находится во второй координатной четверти, где косинус отрицателен.

$cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$.

Поскольку $cos \alpha < 0$, выбираем отрицательное значение корня: $cos \alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$.

2. Найдем $sin \beta$. Дано, что $cos \beta = -\frac{15}{17}$ и $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$. Угол $\beta$ также находится во второй координатной четверти, где синус положителен.

$sin^2 \beta = 1 - cos^2 \beta = 1 - (-\frac{15}{17})^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289}$.

Поскольку $sin \beta > 0$, выбираем положительное значение корня: $sin \beta = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17}$.

Теперь у нас есть все необходимые значения: $sin \alpha = \frac{4}{5}$, $cos \alpha = -\frac{3}{5}$, $sin \beta = \frac{8}{17}$, $cos \beta = -\frac{15}{17}$.

a) sin(α + β)

Используем формулу синуса суммы углов: $sin(\alpha + \beta) = sin \alpha \cdot cos \beta + cos \alpha \cdot sin \beta$.

Подставляем значения:

$sin(\alpha + \beta) = \frac{4}{5} \cdot (-\frac{15}{17}) + (-\frac{3}{5}) \cdot \frac{8}{17} = -\frac{60}{85} - \frac{24}{85} = -\frac{60 + 24}{85} = -\frac{84}{85}$.

Ответ: $-\frac{84}{85}$

б) cos(α + β)

Используем формулу косинуса суммы углов: $cos(\alpha + \beta) = cos \alpha \cdot cos \beta - sin \alpha \cdot sin \beta$.

Подставляем значения:

$cos(\alpha + \beta) = (-\frac{3}{5}) \cdot (-\frac{15}{17}) - \frac{4}{5} \cdot \frac{8}{17} = \frac{45}{85} - \frac{32}{85} = \frac{45 - 32}{85} = \frac{13}{85}$.

Ответ: $\frac{13}{85}$