Номер 24.19, страница 152, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.19. Докажите равенство:

а) $\sin 75^\circ \cos 75^\circ = \frac{1}{4};$

б) $\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2};$

в) $\sin 105^\circ \cos 105^\circ = -\frac{1}{4};$

г) $\cos^2 75^\circ + \sin^2 75^\circ = 1.$

а)

Для доказательства этого равенства воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Из этой формулы следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

Подставим в эту формулу значение $\alpha = 75^\circ$:

$\sin 75^\circ \cos 75^\circ = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 75^\circ) = \frac{1}{2}\sin(150^\circ)$.

Угол $150^\circ$ находится во второй четверти, где синус положителен. Используем формулу приведения: $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ)$.

Значение $\sin(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.

Таким образом, получаем:

$\frac{1}{2}\sin(150^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Следовательно, $\sin 75^\circ \cos 75^\circ = \frac{1}{4}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства этого равенства воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Подставим в эту формулу значение $\alpha = 75^\circ$:

$\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ = \cos(2 \cdot 75^\circ) = \cos(150^\circ)$.

Угол $150^\circ$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Используем формулу приведения: $\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ)$.

Значение $\cos(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, получаем:

$\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

в)

Для доказательства этого равенства воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Из этой формулы следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

Подставим в эту формулу значение $\alpha = 105^\circ$:

$\sin 105^\circ \cos 105^\circ = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 105^\circ) = \frac{1}{2}\sin(210^\circ)$.

Угол $210^\circ$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Используем формулу приведения: $\sin(210^\circ) = \sin(180^\circ + 30^\circ) = -\sin(30^\circ)$.

Значение $\sin(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.

Таким образом, получаем:

$\frac{1}{2}\sin(210^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4}$.

Следовательно, $\sin 105^\circ \cos 105^\circ = -\frac{1}{4}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

г)

Данное равенство является основным тригонометрическим тождеством: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.

Это тождество справедливо для любого значения угла $\alpha$.

В данном случае $\alpha = 75^\circ$. Подставляя это значение в тождество, мы получаем:

$\cos^2 75^\circ + \sin^2 75^\circ = 1$.

Таким образом, равенство является верным по определению основного тригонометрического тождества.

Ответ: Равенство доказано.