Номер 24.18, страница 152, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.18. a) $ \cos \frac{5\pi}{8} \cos \frac{3\pi}{8} + \sin \frac{5\pi}{8} \sin \frac{3\pi}{8}; $

б) $ \sin \frac{2\pi}{15} \cos \frac{\pi}{5} + \cos \frac{2\pi}{15} \sin \frac{\pi}{5}; $

в) $ \cos \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{12} \sin \frac{\pi}{4}; $

г) $ \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{4} - \cos \frac{\pi}{12} \sin \frac{\pi}{4}. $

а) Данное выражение имеет вид $\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$, что соответствует формуле косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.
В нашем случае $\alpha = \frac{5\pi}{8}$ и $\beta = \frac{3\pi}{8}$.
Применим формулу:
$\cos\frac{5\pi}{8} \cos\frac{3\pi}{8} + \sin\frac{5\pi}{8} \sin\frac{3\pi}{8} = \cos(\frac{5\pi}{8} - \frac{3\pi}{8}) = \cos(\frac{2\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{4})$.
Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Данное выражение имеет вид $\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$, что соответствует формуле синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.
В нашем случае $\alpha = \frac{2\pi}{15}$ и $\beta = \frac{\pi}{5}$.
Применим формулу, предварительно приведя дроби к общему знаменателю:
$\sin\frac{2\pi}{15} \cos\frac{\pi}{5} + \cos\frac{2\pi}{15} \sin\frac{\pi}{5} = \sin(\frac{2\pi}{15} + \frac{\pi}{5}) = \sin(\frac{2\pi}{15} + \frac{3\pi}{15}) = \sin(\frac{5\pi}{15}) = \sin(\frac{\pi}{3})$.
Значение синуса для угла $\frac{\pi}{3}$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) Данное выражение имеет вид $\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$, что соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.
В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$.
Применим формулу, предварительно приведя дроби к общему знаменателю:
$\cos\frac{\pi}{12} \cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{12} \sin\frac{\pi}{4} = \cos(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{12}) = \cos(\frac{4\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{3})$.
Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{3}$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) Данное выражение имеет вид $\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$, что соответствует формуле синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.
В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$.
Применим формулу, предварительно приведя дроби к общему знаменателю:
$\sin\frac{\pi}{12} \cos\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{12} \sin\frac{\pi}{4} = \sin(\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{12} - \frac{3\pi}{12}) = \sin(-\frac{2\pi}{12}) = \sin(-\frac{\pi}{6})$.
Так как синус является нечетной функцией, $\sin(-x) = -\sin(x)$. Следовательно, $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6})$.
Значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$, поэтому результат равен $-\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.