Номер 24.22, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.22. Найдите наименьший (в градусах) положительный корень уравнения:

a) $ \sin x \cos 45^\circ + \cos x \sin 45^\circ = \cos 17^\circ \cos 13^\circ - \sin 17^\circ \sin 13^\circ; $

б) $ \cos x \cos 45^\circ + \sin x \sin 45^\circ = \sin 200^\circ \cos 80^\circ - \cos 200^\circ \sin 80^\circ. $

а)

Рассмотрим данное уравнение: $sin\,x\,cos\,45^\circ + cos\,x\,sin\,45^\circ = cos\,17^\circ\,cos\,13^\circ - sin\,17^\circ\,sin\,13^\circ$.

Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса суммы двух углов: $sin(\alpha + \beta) = sin\,\alpha\,cos\,\beta + cos\,\alpha\,sin\,\beta$.

Применив эту формулу, получим: $sin\,x\,cos\,45^\circ + cos\,x\,sin\,45^\circ = sin(x + 45^\circ)$.

Правая часть уравнения представляет собой формулу косинуса суммы двух углов: $cos(\alpha + \beta) = cos\,\alpha\,cos\,\beta - sin\,\alpha\,sin\,\beta$.

Применив эту формулу, получим: $cos\,17^\circ\,cos\,13^\circ - sin\,17^\circ\,sin\,13^\circ = cos(17^\circ + 13^\circ) = cos(30^\circ)$.

Таким образом, исходное уравнение упрощается до вида: $sin(x + 45^\circ) = cos(30^\circ)$.

Используем формулу приведения $cos\,\alpha = sin(90^\circ - \alpha)$, чтобы привести уравнение к одному виду тригонометрической функции:

$cos(30^\circ) = sin(90^\circ - 30^\circ) = sin(60^\circ)$.

Получаем уравнение: $sin(x + 45^\circ) = sin(60^\circ)$.

Общее решение уравнения $sin\,A = sin\,B$ имеет вид: $A = n \cdot 180^\circ + (-1)^n B$, где $n$ – целое число.

В нашем случае $A = x + 45^\circ$ и $B = 60^\circ$.

$x + 45^\circ = n \cdot 180^\circ + (-1)^n \cdot 60^\circ$

$x = n \cdot 180^\circ + (-1)^n \cdot 60^\circ - 45^\circ$

Чтобы найти наименьший положительный корень, будем подставлять различные целые значения $n$.

При $n=0$: $x = 0 \cdot 180^\circ + (-1)^0 \cdot 60^\circ - 45^\circ = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ$.

При $n=1$: $x = 1 \cdot 180^\circ + (-1)^1 \cdot 60^\circ - 45^\circ = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$.

При $n=-1$: $x = -1 \cdot 180^\circ + (-1)^{-1} \cdot 60^\circ - 45^\circ = -180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = -285^\circ$.

Наименьший положительный корень получается при $n=0$ и равен $15^\circ$.

Ответ: $15^\circ$.

б)

Рассмотрим данное уравнение: $cos\,x\,cos\,45^\circ + sin\,x\,sin\,45^\circ = sin\,200^\circ\,cos\,80^\circ - cos\,200^\circ\,sin\,80^\circ$.

Левая часть уравнения представляет собой формулу косинуса разности двух углов: $cos(\alpha - \beta) = cos\,\alpha\,cos\,\beta + sin\,\alpha\,sin\,\beta$.

Применив эту формулу, получим: $cos\,x\,cos\,45^\circ + sin\,x\,sin\,45^\circ = cos(x - 45^\circ)$.

Правая часть уравнения представляет собой формулу синуса разности двух углов: $sin(\alpha - \beta) = sin\,\alpha\,cos\,\beta - cos\,\alpha\,sin\,\beta$.

Применив эту формулу, получим: $sin\,200^\circ\,cos\,80^\circ - cos\,200^\circ\,sin\,80^\circ = sin(200^\circ - 80^\circ) = sin(120^\circ)$.

Таким образом, исходное уравнение упрощается до вида: $cos(x - 45^\circ) = sin(120^\circ)$.

Используем формулу приведения $sin\,\alpha = cos(90^\circ - \alpha)$, чтобы привести уравнение к одному виду тригонометрической функции:

$sin(120^\circ) = cos(90^\circ - 120^\circ) = cos(-30^\circ)$.

Так как косинус – четная функция, $cos(-30^\circ) = cos(30^\circ)$.

Получаем уравнение: $cos(x - 45^\circ) = cos(30^\circ)$.

Общее решение уравнения $cos\,A = cos\,B$ имеет вид: $A = n \cdot 360^\circ \pm B$, где $n$ – целое число.

В нашем случае $A = x - 45^\circ$ и $B = 30^\circ$.

$x - 45^\circ = n \cdot 360^\circ \pm 30^\circ$

$x = n \cdot 360^\circ \pm 30^\circ + 45^\circ$

Рассмотрим два случая:

1) $x = n \cdot 360^\circ + 30^\circ + 45^\circ = n \cdot 360^\circ + 75^\circ$.

При $n=0$: $x = 75^\circ$.

2) $x = n \cdot 360^\circ - 30^\circ + 45^\circ = n \cdot 360^\circ + 15^\circ$.

При $n=0$: $x = 15^\circ$.

При других целых значениях $n$ корни будут либо отрицательными, либо больше $75^\circ$ и $15^\circ$.

Сравнивая полученные положительные корни $75^\circ$ и $15^\circ$, выбираем наименьший.

Наименьший положительный корень равен $15^\circ$.

Ответ: $15^\circ$.