Номер 23.36, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.36. а) $\sqrt{5 - 2 \sin x} = 6 \sin x - 1;$

б) $\sqrt{2 + 4 \cos x} = 3 \cos x + 0,5.$

а) $\sqrt{5 - 2 \sin x} = 6 \sin x - 1$

Введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений функции синус от $-1$ до $1$, то $-1 \le t \le 1$.

Уравнение принимает вид: $\sqrt{5 - 2t} = 6t - 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $t$.

1. По-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$5 - 2t \ge 0$
$5 \ge 2t$
$t \le 2.5$

2. Во-вторых, правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня:
$6t - 1 \ge 0$
$6t \ge 1$
$t \ge \frac{1}{6}$

Объединяя все условия для $t$ ($-1 \le t \le 1$, $t \le 2.5$ и $t \ge \frac{1}{6}$), получаем итоговое ограничение: $\frac{1}{6} \le t \le 1$.

Теперь решим уравнение $\sqrt{5 - 2t} = 6t - 1$. Возведем обе части в квадрат:

$5 - 2t = (6t - 1)^2$

$5 - 2t = 36t^2 - 12t + 1$

$36t^2 - 10t - 4 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$18t^2 - 5t - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-2) = 25 + 144 = 169 = 13^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2 \cdot 18} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2 \cdot 18} = \frac{-8}{36} = -\frac{2}{9}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ $\frac{1}{6} \le t \le 1$.

Корень $t_1 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию, так как $\frac{1}{6} \le \frac{1}{2} \le 1$.

Корень $t_2 = -\frac{2}{9}$ не удовлетворяет условию, так как $-\frac{2}{9} < \frac{1}{6}$. Это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $t = \frac{1}{2}$:

$\sin x = \frac{1}{2}$

Решениями этого уравнения являются:

$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{2 + 4 \cos x} = 3 \cos x + 0.5$

Введем замену переменной. Пусть $y = \cos x$. Так как область значений функции косинус от $-1$ до $1$, то $-1 \le y \le 1$.

Уравнение принимает вид: $\sqrt{2 + 4y} = 3y + 0.5$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $y$.

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$2 + 4y \ge 0$
$4y \ge -2$
$y \ge -0.5$

2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной:
$3y + 0.5 \ge 0$
$3y \ge -0.5$
$y \ge -\frac{0.5}{3} = -\frac{1}{6}$

Объединяя все условия для $y$ ($-1 \le y \le 1$, $y \ge -0.5$ и $y \ge -\frac{1}{6}$), получаем итоговое ограничение: $-\frac{1}{6} \le y \le 1$.

Решим уравнение $\sqrt{2 + 4y} = 3y + 0.5$. Возведем обе части в квадрат:

$2 + 4y = (3y + 0.5)^2$

$2 + 4y = 9y^2 + 2 \cdot 3y \cdot 0.5 + (0.5)^2$

$2 + 4y = 9y^2 + 3y + 0.25$

$9y^2 - y - 1.75 = 0$

Умножим уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби:

$36y^2 - 4y - 7 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 36 \cdot (-7) = 16 + 1008 = 1024 = 32^2$

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 32}{2 \cdot 36} = \frac{36}{72} = \frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 32}{2 \cdot 36} = \frac{-28}{72} = -\frac{7}{18}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ $-\frac{1}{6} \le y \le 1$.

Корень $y_1 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию, так как $-\frac{1}{6} \le \frac{1}{2} \le 1$.

Корень $y_2 = -\frac{7}{18}$ не удовлетворяет условию. Сравним $-\frac{7}{18}$ и $-\frac{1}{6} = -\frac{3}{18}$. Так как $-7 < -3$, то $-\frac{7}{18} < -\frac{3}{18}$. Значит, это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $y = \frac{1}{2}$:

$\cos x = \frac{1}{2}$

Решениями этого уравнения являются:

$x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.