Номер 23.33, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.33. а) $cos^5 x + sin^4 x = 1$;

б) $cos^8 x + sin^3 x = 1$.

а) $ \cos^5 x + \sin^4 x = 1 $

Воспользуемся тем, что для любого действительного $x$ значения $ \sin x $ и $ \cos x $ находятся в диапазоне $ [-1, 1] $. Это позволяет нам сделать следующие оценки для слагаемых в левой части уравнения:

1. Сравним $ \cos^5 x $ и $ \cos^2 x $.Поскольку $ \cos x \in [-1, 1] $, то $ \cos^2 x \in [0, 1] $.Если $ \cos x \in [0, 1] $, то $ \cos^3 x \le 1 $, и умножив на неотрицательное $ \cos^2 x $, получим $ \cos^5 x = \cos^2 x \cdot \cos^3 x \le \cos^2 x $.Если $ \cos x \in [-1, 0) $, то $ \cos^5 x $ будет отрицательным, в то время как $ \cos^2 x $ — положительным, следовательно, $ \cos^5 x < \cos^2 x $.Таким образом, для любого $x$ выполняется неравенство $ \cos^5 x \le \cos^2 x $. Равенство достигается, только если $ \cos^5 x = \cos^2 x \implies \cos^2 x(\cos^3 x - 1) = 0 $, что верно при $ \cos x = 0 $ или $ \cos x = 1 $.

2. Сравним $ \sin^4 x $ и $ \sin^2 x $.Так как $ \sin^2 x \in [0, 1] $, то возведение в квадрат не увеличит значение: $ (\sin^2 x)^2 \le \sin^2 x $, то есть $ \sin^4 x \le \sin^2 x $.Равенство $ \sin^4 x = \sin^2 x \implies \sin^2 x(1 - \sin^2 x) = 0 $ достигается при $ \sin^2 x = 0 $ (т.е. $ \sin x = 0 $) или $ \sin^2 x = 1 $ (т.е. $ \sin x = \pm 1 $).

Сложив два полученных неравенства, имеем:$ \cos^5 x + \sin^4 x \le \cos^2 x + \sin^2 x $Используя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $, получаем:$ \cos^5 x + \sin^4 x \le 1 $

Наше исходное уравнение $ \cos^5 x + \sin^4 x = 1 $ представляет собой случай, когда в этом неравенстве достигается равенство. Это возможно только в том случае, если оба неравенства, которые мы складывали, одновременно обращаются в равенства. То есть должна выполняться система:

$ \begin{cases} \cos^5 x = \cos^2 x \\ \sin^4 x = \sin^2 x \end{cases} \implies \begin{cases} \cos x = 0 \text{ или } \cos x = 1 \\ \sin x = 0 \text{ или } \sin^2 x = 1 \end{cases} $

Рассмотрим возможные случаи:

Случай 1: $ \cos x = 1 $.Если $ \cos x = 1 $, то $ \sin x = 0 $. Эта пара значений удовлетворяет второму условию системы ($ \sin x = 0 $). Значит, все $x$, для которых $ \cos x = 1 $, являются решениями.$ x = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Случай 2: $ \cos x = 0 $.Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 $. Эта пара значений удовлетворяет второму условию системы ($ \sin^2 x = 1 $). Значит, все $x$, для которых $ \cos x = 0 $, являются решениями.$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $; $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos^8 x + \sin^3 x = 1 $

Решим это уравнение методом оценок, аналогично предыдущему пункту.

1. Сравним $ \cos^8 x $ и $ \cos^2 x $.Поскольку $ \cos^2 x \in [0, 1] $, то $ (\cos^2 x)^4 \le \cos^2 x $, то есть $ \cos^8 x \le \cos^2 x $.Равенство $ \cos^8 x = \cos^2 x \implies \cos^2 x(1 - \cos^6 x) = 0 $ достигается при $ \cos^2 x = 0 $ (т.е. $ \cos x = 0 $) или $ \cos^2 x = 1 $ (т.е. $ \cos x = \pm 1 $).

2. Сравним $ \sin^3 x $ и $ \sin^2 x $.Если $ \sin x \in [0, 1] $, то $ \sin^3 x \le \sin^2 x $.Если $ \sin x \in [-1, 0) $, то $ \sin^3 x $ отрицателен, а $ \sin^2 x $ неотрицателен, поэтому $ \sin^3 x < \sin^2 x $.Следовательно, для всех $x$ выполняется неравенство $ \sin^3 x \le \sin^2 x $.Равенство $ \sin^3 x = \sin^2 x \implies \sin^2 x(\sin x - 1) = 0 $ достигается при $ \sin x = 0 $ или $ \sin x = 1 $.

Складывая эти два неравенства, получаем:$ \cos^8 x + \sin^3 x \le \cos^2 x + \sin^2 x $С учетом основного тригонометрического тождества:$ \cos^8 x + \sin^3 x \le 1 $

В исходном уравнении левая часть равна 1, значит, в неравенстве достигается знак равенства. Это возможно, только если оба исходных неравенства являются равенствами. Составим систему условий:

$ \begin{cases} \cos^8 x = \cos^2 x \\ \sin^3 x = \sin^2 x \end{cases} \implies \begin{cases} \cos x = 0 \text{ или } \cos x = \pm 1 \\ \sin x = 0 \text{ или } \sin x = 1 \end{cases} $

Проверим совместимость этих условий, используя тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.

Случай 1: $ \sin x = 0 $.Тогда $ \cos^2 x = 1 - 0 = 1 $, откуда $ \cos x = \pm 1 $. Это соответствует одному из условий для косинуса. Следовательно, все $x$, для которых $ \sin x = 0 $, являются решениями.$ x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Случай 2: $ \sin x = 1 $.Тогда $ \cos^2 x = 1 - 1 = 0 $, откуда $ \cos x = 0 $. Это соответствует одному из условий для косинуса. Следовательно, все $x$, для которых $ \sin x = 1 $, являются решениями.$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $; $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.