Номер 23.27, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.27. Решите уравнение:

a) $|ctg x| = ctg x + \frac{1}{\sin x}$;

б) $tg x + \frac{1}{9}ctg x = \sqrt{\frac{1}{\cos^2 x} - 1} - 1.$

а) $| \text{ctg} \, x | = \text{ctg} \, x + \frac{1}{\sin x}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функции $ \text{ctg} \, x $ и $ \frac{1}{\sin x} $ определены, если $ \sin x \neq 0 $. Это означает, что $ x \neq \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $ \text{ctg} \, x $.

1. Пусть $ \text{ctg} \, x \ge 0 $. В этом случае $ | \text{ctg} \, x | = \text{ctg} \, x $. Уравнение принимает вид: $ \text{ctg} \, x = \text{ctg} \, x + \frac{1}{\sin x} $ $ 0 = \frac{1}{\sin x} $ Это уравнение не имеет решений, так как дробь может быть равна нулю только если ее числитель равен нулю, а здесь он равен 1.

2. Пусть $ \text{ctg} \, x < 0 $. В этом случае $ | \text{ctg} \, x | = -\text{ctg} \, x $. Уравнение принимает вид: $ -\text{ctg} \, x = \text{ctg} \, x + \frac{1}{\sin x} $ Перенесем $ \text{ctg} \, x $ в левую часть: $ -2 \text{ctg} \, x = \frac{1}{\sin x} $ Заменим $ \text{ctg} \, x $ на $ \frac{\cos x}{\sin x} $: $ -2 \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\sin x} $ Так как по ОДЗ $ \sin x \neq 0 $, мы можем умножить обе части на $ \sin x $: $ -2 \cos x = 1 $ $ \cos x = -\frac{1}{2} $

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $ \text{ctg} \, x < 0 $. Уравнение $ \cos x = -\frac{1}{2} $ имеет две серии решений: $ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ (вторая четверть) $ x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ (третья четверть)

Для первой серии решений ($ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $), $ x $ находится во второй координатной четверти, где $ \cos x < 0 $ и $ \sin x > 0 $. Следовательно, $ \text{ctg} \, x = \frac{\cos x}{\sin x} < 0 $. Это решение удовлетворяет нашему условию.

Для второй серии решений ($ x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k $), $ x $ находится в третьей координатной четверти, где $ \cos x < 0 $ и $ \sin x < 0 $. Следовательно, $ \text{ctg} \, x = \frac{\cos x}{\sin x} > 0 $. Это решение не удовлетворяет нашему условию $ \text{ctg} \, x < 0 $, поэтому оно является посторонним.

Таким образом, решением уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \text{tg} \, x + \frac{1}{9} \text{ctg} \, x = \sqrt{\frac{1}{\cos^2 x} - 1} - 1 $

ОДЗ: $ \cos x \neq 0 $ и $ \sin x \neq 0 $, так как в уравнении присутствуют $ \text{tg} \, x $ и $ \text{ctg} \, x $. Также выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ \frac{1}{\cos^2 x} - 1 \ge 0 $. Преобразуем подкоренное выражение: $ \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \text{tg}^2 x $. Условие $ \text{tg}^2 x \ge 0 $ выполняется всегда, когда $ \text{tg} \, x $ определен. Итак, ОДЗ: $ x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

Упростим правую часть уравнения: $ \sqrt{\frac{1}{\cos^2 x} - 1} - 1 = \sqrt{\text{tg}^2 x} - 1 = |\text{tg} \, x| - 1 $.

Теперь уравнение имеет вид: $ \text{tg} \, x + \frac{1}{9} \text{ctg} \, x = |\text{tg} \, x| - 1 $. Заменим $ \text{ctg} \, x = \frac{1}{\text{tg} \, x} $: $ \text{tg} \, x + \frac{1}{9 \text{tg} \, x} = |\text{tg} \, x| - 1 $.

Рассмотрим два случая.

1. Пусть $ \text{tg} \, x > 0 $. Тогда $ |\text{tg} \, x| = \text{tg} \, x $. $ \text{tg} \, x + \frac{1}{9 \text{tg} \, x} = \text{tg} \, x - 1 $ $ \frac{1}{9 \text{tg} \, x} = -1 $ $ \text{tg} \, x = -\frac{1}{9} $ Это противоречит нашему предположению $ \text{tg} \, x > 0 $, следовательно, в этом случае решений нет.

2. Пусть $ \text{tg} \, x < 0 $. Тогда $ |\text{tg} \, x| = -\text{tg} \, x $. $ \text{tg} \, x + \frac{1}{9 \text{tg} \, x} = -\text{tg} \, x - 1 $ $ 2\text{tg} \, x + \frac{1}{9 \text{tg} \, x} + 1 = 0 $ Сделаем замену $ t = \text{tg} \, x $, где $ t < 0 $. $ 2t + \frac{1}{9t} + 1 = 0 $ Умножим все уравнение на $ 9t $ (так как $ t \neq 0 $): $ 18t^2 + 1 + 9t = 0 $ $ 18t^2 + 9t + 1 = 0 $ Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $ D = 9^2 - 4 \cdot 18 \cdot 1 = 81 - 72 = 9 $. $ t_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 18} = \frac{-9 \pm 3}{36} $ $ t_1 = \frac{-9 - 3}{36} = \frac{-12}{36} = -\frac{1}{3} $ $ t_2 = \frac{-9 + 3}{36} = \frac{-6}{36} = -\frac{1}{6} $

Оба значения $ t $ отрицательны, поэтому они удовлетворяют условию $ t < 0 $. Возвращаемся к переменной $ x $: $ \text{tg} \, x = -\frac{1}{3} \implies x = \text{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\text{arctg}(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $ $ \text{tg} \, x = -\frac{1}{6} \implies x = \text{arctg}(-\frac{1}{6}) + \pi k = -\text{arctg}(\frac{1}{6}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\text{arctg}(\frac{1}{3}) + \pi k, x = -\text{arctg}(\frac{1}{6}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.