Номер 23.24, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.24. a) $\cos^6 x + \sin^6 x = \frac{7}{16};$

б) $\cos^{-4} \frac{x}{2} \left( 2 \sin^4 \frac{x}{2} - 1 \right) = 2.$

а)

Исходное уравнение: $ \cos^6 x + \sin^6 x = \frac{7}{16} $

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Пусть $ a = \cos^2 x $ и $ b = \sin^2 x $.

$ \cos^6 x + \sin^6 x = (\cos^2 x)^3 + (\sin^2 x)^3 = (\cos^2 x + \sin^2 x)((\cos^2 x)^2 - \cos^2 x \sin^2 x + (\sin^2 x)^2) $

Так как $ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $, выражение упрощается:

$ \cos^4 x - \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x $

Сгруппируем члены и дополним до полного квадрата:

$ (\cos^4 x + 2\cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x) - 3\cos^2 x \sin^2 x = (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 - 3\cos^2 x \sin^2 x $

И снова, используя $ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $, получаем:

$ 1 - 3\cos^2 x \sin^2 x $

Теперь используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $, откуда $ \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x) $. Тогда $ \cos^2 x \sin^2 x = (\frac{1}{2}\sin(2x))^2 = \frac{1}{4}\sin^2(2x) $.

Подставим это в наше выражение:

$ 1 - 3 \cdot \frac{1}{4}\sin^2(2x) = 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x) $

Теперь вернемся к исходному уравнению:

$ 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x) = \frac{7}{16} $

Выразим $ \sin^2(2x) $:

$ \frac{3}{4}\sin^2(2x) = 1 - \frac{7}{16} $

$ \frac{3}{4}\sin^2(2x) = \frac{9}{16} $

$ \sin^2(2x) = \frac{9}{16} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3}{4} $

Применим формулу понижения степени $ \sin^2 \alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2} $. В нашем случае $ \alpha = 2x $.

$ \frac{1-\cos(4x)}{2} = \frac{3}{4} $

$ 1-\cos(4x) = \frac{3}{2} $

$ \cos(4x) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} $

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$ 4x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

$ 4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $

$ x = \pm \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi k}{4} $

$ x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $

б)

Исходное уравнение: $ \cos^{-4} \frac{x}{2} \left(2 \sin^4 \frac{x}{2} - 1\right) = 2 $

Область допустимых значений (ОДЗ): $ \cos \frac{x}{2} \neq 0 $, что означает $ \frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n $, то есть $ x \neq \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Перепишем уравнение в виде дроби:

$ \frac{2 \sin^4 \frac{x}{2} - 1}{\cos^4 \frac{x}{2}} = 2 $

При условии $ \cos \frac{x}{2} \neq 0 $, умножим обе части на $ \cos^4 \frac{x}{2} $:

$ 2 \sin^4 \frac{x}{2} - 1 = 2 \cos^4 \frac{x}{2} $

Перенесем все члены в одну сторону:

$ 2 \cos^4 \frac{x}{2} - 2 \sin^4 \frac{x}{2} + 1 = 0 $

Вынесем 2 за скобки:

$ 2\left(\cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2}\right) + 1 = 0 $

Выражение в скобках является разностью квадратов. Разложим его на множители:

$ \cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2} = \left(\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}\right)\left(\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}\right) $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $ и формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $. В нашем случае $ \alpha = \frac{x}{2} $, поэтому $ 2\alpha = x $.

$ \cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2} = (\cos x)(1) = \cos x $

Подставим это обратно в уравнение:

$ 2\cos x + 1 = 0 $

Решаем полученное уравнение:

$ \cos x = -\frac{1}{2} $

$ x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Проверим, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ ($ x \neq \pi + 2\pi n $). Очевидно, что $ \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $ никогда не равно $ \pi + 2\pi n $ для целых $ k $ и $ n $. Следовательно, все найденные корни подходят.

Ответ: $ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $