Номер 23.22, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.22. a) $\sin^2 x - 5 \cos x = \sin x \cos x - 5 \sin x;$

б) $\cos^2 x - 7 \sin x + \sin x \cos x = 7 \cos x.$

а) $ \sin^2 x - 5\cos x = \sin x \cos x - 5\sin x $

Для решения данного тригонометрического уравнения перенесем все его члены в левую часть и сгруппируем их.

$ \sin^2 x - 5\cos x - \sin x \cos x + 5\sin x = 0 $

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$ (\sin^2 x - \sin x \cos x) + (5\sin x - 5\cos x) = 0 $

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$ \sin x(\sin x - \cos x) + 5(\sin x - \cos x) = 0 $

Теперь вынесем общий множитель $ (\sin x - \cos x) $ за скобки:

$ (\sin x + 5)(\sin x - \cos x) = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1. $ \sin x + 5 = 0 \implies \sin x = -5 $. Данное уравнение не имеет решений, так как значения функции синуса находятся в пределах от -1 до 1, то есть $ -1 \le \sin x \le 1 $.

2. $ \sin x - \cos x = 0 \implies \sin x = \cos x $. Чтобы решить это уравнение, разделим обе его части на $ \cos x $. Это можно сделать, если $ \cos x \neq 0 $. Если предположить, что $ \cos x = 0 $, то из уравнения следует, что и $ \sin x = 0 $. Однако, синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно, так как $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $. Следовательно, $ \cos x \neq 0 $.

$ \frac{\sin x}{\cos x} = 1 $

$ \tan x = 1 $

Корни этого уравнения находятся по формуле:

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, $ где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos^2 x - 7\sin x + \sin x \cos x = 7\cos x $

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ \cos^2 x - 7\sin x + \sin x \cos x - 7\cos x = 0 $

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$ (\cos^2 x + \sin x \cos x) - (7\sin x + 7\cos x) = 0 $

Вынесем общие множители из каждой группы:

$ \cos x(\cos x + \sin x) - 7(\sin x + \cos x) = 0 $

Вынесем общий множитель $ (\cos x + \sin x) $ за скобки:

$ (\cos x - 7)(\cos x + \sin x) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1. $ \cos x - 7 = 0 \implies \cos x = 7 $. Это уравнение не имеет решений, так как значения функции косинуса лежат в интервале $ [-1, 1] $.

2. $ \cos x + \sin x = 0 \implies \sin x = -\cos x $. Разделим обе части на $ \cos x $, убедившись, что $ \cos x \neq 0 $. Если $ \cos x = 0 $, то и $ \sin x = 0 $, что невозможно, так как нарушается основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.

$ \frac{\sin x}{\cos x} = -1 $

$ \tan x = -1 $

Корни этого уравнения:

$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, $ где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.