Номер 23.23, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.23. a) $\sin^6 x + \sin^4 x \cos^2 x = \sin^3 x \cos^3 x + \sin x \cos^5 x;$

б) $\sin^2 x \cos^2 x - 10 \sin x \cos^3 x + 21 \cos^4 x = 0.$

а)

Дано уравнение: $\sin^6 x + \sin^4 x \cos^2 x = \sin^3 x \cos^3 x + \sin x \cos^5 x$.

Преобразуем левую и правую части уравнения, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

В левой части вынесем за скобки общий множитель $\sin^4 x$:

$\sin^4 x (\sin^2 x + \cos^2 x) = \sin^4 x \cdot 1 = \sin^4 x$.

В правой части вынесем за скобки общий множитель $\sin x \cos^3 x$:

$\sin x \cos^3 x (\sin^2 x + \cos^2 x) = \sin x \cos^3 x \cdot 1 = \sin x \cos^3 x$.

Таким образом, исходное уравнение упрощается до вида:

$\sin^4 x = \sin x \cos^3 x$.

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin^4 x - \sin x \cos^3 x = 0$

$\sin x (\sin^3 x - \cos^3 x) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $\sin x = 0$.

Решением этого уравнения является серия корней $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin^3 x - \cos^3 x = 0$.

$\sin^3 x = \cos^3 x$.

Заметим, что если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, и равенство $0 = \pm 1$ неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^3 x$:

$\frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} = 1$

$\tan^3 x = 1$

$\tan x = 1$.

Решением этого уравнения является серия корней $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pi k$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение: $\sin^2 x \cos^2 x - 10 \sin x \cos^3 x + 21 \cos^4 x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение. Вынесем за скобки общий множитель $\cos^2 x$:

$\cos^2 x (\sin^2 x - 10 \sin x \cos x + 21 \cos^2 x) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $\cos^2 x = 0$.

$\cos x = 0$.

Решением этого уравнения является серия корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin^2 x - 10 \sin x \cos x + 21 \cos^2 x = 0$.

Это однородное уравнение второй степени. Проверим случай, когда $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$, и уравнение принимает вид $1 - 0 + 0 = 1 \neq 0$. Следовательно, в этом случае $\cos x \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 10 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 21 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x - 10 \tan x + 21 = 0$.

Введем замену $t = \tan x$. Уравнение примет вид квадратного:

$t^2 - 10t + 21 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 21. Корнями являются $t_1 = 3$ и $t_2 = 7$.

Выполним обратную замену:

а) $\tan x = 3$.

Отсюда $x = \arctan 3 + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\tan x = 7$.

Отсюда $x = \arctan 7 + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из всех случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $x = \arctan 3 + \pi n$, $x = \arctan 7 + \pi m$, где $k, n, m \in \mathbb{Z}$.