Номер 23.38, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.38. a) $\sqrt{3 \sin 5x - \cos^2 x - 3} = 1 - \sin x;$

б) $\sqrt{2 \cos 4x - \sin^2 x - 2} = 1 + \cos x.$

а) $\sqrt{3 \sin 5x - \cos^2 x - 3} = 1 - \sin x$

Решение этого уравнения начнем с анализа области допустимых значений (ОДЗ). Уравнение содержит квадратный корень, поэтому должны выполняться два условия:

1. Подрадикальное выражение должно быть неотрицательным: $3 \sin 5x - \cos^2 x - 3 \ge 0$.

2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня: $1 - \sin x \ge 0$.

Рассмотрим первое условие. Мы знаем, что область значений функции синус – $[-1, 1]$, а область значений квадрата косинуса – $[0, 1]$. Оценим левую часть неравенства, найдя ее максимальное возможное значение:

Максимальное значение $\sin 5x$ равно $1$, значит $3 \sin 5x \le 3$.

Минимальное значение $\cos^2 x$ равно $0$, значит $-\cos^2 x \le 0$.

Следовательно, максимальное значение всего выражения под корнем:

$3 \sin 5x - \cos^2 x - 3 \le 3 \cdot 1 - 0 - 3 = 0$.

Таким образом, мы получили, что выражение $3 \sin 5x - \cos^2 x - 3$ всегда меньше или равно нулю. С другой стороны, из ОДЗ это же выражение должно быть больше или равно нулю. Единственная возможность, при которой оба условия выполняются одновременно, — это когда выражение равно нулю:

$3 \sin 5x - \cos^2 x - 3 = 0$.

Если подкоренное выражение равно нулю, то и вся левая часть уравнения равна нулю. Следовательно, и правая часть должна быть равна нулю:

$1 - \sin x = 0$.

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} 3 \sin 5x - \cos^2 x - 3 = 0 \\ 1 - \sin x = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения находим:

$\sin x = 1$.

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь подставим $\sin x = 1$ в первое уравнение системы. Сначала найдем $\cos^2 x$ из основного тригонометрического тождества: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - 1^2 = 0$.

Подставляем $\cos^2 x = 0$ в первое уравнение:

$3 \sin 5x - 0 - 3 = 0$

$3 \sin 5x = 3$

$\sin 5x = 1$.

Теперь нужно проверить, выполняются ли оба условия ($\sin x = 1$ и $\sin 5x = 1$) для найденных значений $x$. Подставим $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ в выражение $\sin 5x$:

$\sin(5x) = \sin\left(5\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{2} + 10\pi k\right)$.

Поскольку $10\pi k$ является целым числом полных оборотов ($5k \cdot 2\pi$), его можно отбросить при вычислении синуса:

$\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Условие $\sin 5x = 1$ выполняется. Следовательно, решения исходного уравнения — это все $x$, для которых $\sin x = 1$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{2 \cos 4x - \sin^2 x - 2} = 1 + \cos x$

Как и в предыдущем задании, определим область допустимых значений (ОДЗ).

1. Подрадикальное выражение должно быть неотрицательным: $2 \cos 4x - \sin^2 x - 2 \ge 0$.

2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $1 + \cos x \ge 0$. (Это условие выполняется всегда, так как $\cos x \ge -1$).

Рассмотрим первое условие. Область значений косинуса – $[-1, 1]$, а квадрата синуса – $[0, 1]$. Оценим выражение под корнем, найдя его максимальное значение:

Максимальное значение $\cos 4x$ равно $1$, значит $2 \cos 4x \le 2$.

Минимальное значение $\sin^2 x$ равно $0$, значит $-\sin^2 x \le 0$.

Следовательно, максимальное значение всего выражения:

$2 \cos 4x - \sin^2 x - 2 \le 2 \cdot 1 - 0 - 2 = 0$.

Выражение $2 \cos 4x - \sin^2 x - 2$ всегда меньше или равно нулю. Согласно ОДЗ, оно должно быть больше или равно нулю. Это возможно только в том случае, когда оно равно нулю:

$2 \cos 4x - \sin^2 x - 2 = 0$.

Если выражение под корнем равно нулю, то левая часть уравнения равна нулю. Тогда и правая часть должна быть равна нулю:

$1 + \cos x = 0$.

Исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} 2 \cos 4x - \sin^2 x - 2 = 0 \\ 1 + \cos x = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения находим:

$\cos x = -1$.

Решения этого уравнения: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти значения $x$ первому уравнению системы. Если $\cos x = -1$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0$.

Подставим $\sin^2 x = 0$ в первое уравнение:

$2 \cos 4x - 0 - 2 = 0$

$2 \cos 4x = 2$

$\cos 4x = 1$.

Проверим, выполняется ли условие $\cos 4x = 1$ для найденных $x = \pi + 2\pi k$:

$\cos(4x) = \cos\left(4(\pi + 2\pi k)\right) = \cos(4\pi + 8\pi k)$.

Так как $4\pi$ и $8\pi k$ являются целыми кратными периода $2\pi$ для функции косинуса, то:

$\cos(4\pi + 8\pi k) = \cos(0) = 1$.

Условие $\cos 4x = 1$ выполняется. Значит, решения исходного уравнения — это все $x$, для которых $\cos x = -1$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.