Номер 23.37, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.37. a) $\sqrt{3} \sin x - \sqrt{2 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x} = 0;$

б) $\cos x + \sqrt{\sin^2 x - 4 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x} = 0.$

а) Исходное уравнение: $ \sqrt{3} \sin x - \sqrt{2 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x} = 0 $.
Перенесем радикал в правую часть уравнения, чтобы изолировать его:$ \sqrt{2 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x} = \sqrt{3} \sin x $.
Поскольку значение арифметического квадратного корня по определению неотрицательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Это накладывает ограничение на возможные решения:$ \sqrt{3} \sin x \ge 0 $, что эквивалентно $ \sin x \ge 0 $.
При выполнении этого условия выражение под корнем будет равно квадрату правой части, то есть $ (\sqrt{3} \sin x)^2 = 3 \sin^2 x $, что всегда неотрицательно. Таким образом, дополнительной проверки для подкоренного выражения не требуется.
Возведем обе части уравнения в квадрат при условии $ \sin x \ge 0 $:$ 2 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 3 \sin^2 x $.
Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные члены:$ 3 \sin^2 x - 2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0 $$ \sin^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0 $.
Получили однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, является ли $ \cos x = 0 $ решением. Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin^2 x = 1 $. Уравнение принимает вид $ 1 + 0 - 0 = 1 \ne 0 $, значит $ \cos x \ne 0 $. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos^2 x $:$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $$ \tan^2 x + 2 \tan x - 3 = 0 $.
Это квадратное уравнение относительно $ \tan x $. Сделаем замену $ t = \tan x $, получим $ t^2 + 2t - 3 = 0 $.По теореме Виета, корни уравнения: $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = -3 $.
Возвращаемся к переменной $ x $ и получаем две совокупности решений:
1) $ \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
2) $ \tan x = -3 \implies x = \arctan(-3) + \pi k = -\arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Теперь необходимо отобрать корни, удовлетворяющие условию $ \sin x \ge 0 $.
Для серии $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n $:
При четных $ n $ (например, $n=2m, m \in \mathbb{Z}$), $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi m $. Эти углы находятся в первой координатной четверти, где $ \sin x > 0 $. Эти корни подходят.
При нечетных $ n $ (например, $n=2m+1, m \in \mathbb{Z}$), $ x = \frac{\pi}{4} + \pi(2m+1) = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m $. Эти углы находятся в третьей четверти, где $ \sin x < 0 $. Эти корни не подходят.
Для серии $ x = -\arctan(3) + \pi k $:
Угол $ -\arctan(3) $ находится в четвертой четверти.
При четных $ k $ (например, $k=2m, m \in \mathbb{Z}$), $ x = -\arctan(3) + 2\pi m $. Эти углы находятся в четвертой четверти, где $ \sin x < 0 $. Эти корни не подходят.
При нечетных $ k $ (например, $k=2m+1, m \in \mathbb{Z}$), $ x = -\arctan(3) + \pi(2m+1) = \pi - \arctan(3) + 2\pi m $. Эти углы находятся во второй четверти, где $ \sin x > 0 $. Эти корни подходят.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $; $ x = \pi - \arctan(3) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Исходное уравнение: $ \cos x + \sqrt{\sin^2 x - 4 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x} = 0 $.
Заметим, что выражение под знаком корня является полным квадратом разности:$ \sin^2 x - 4 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = (\sin x)^2 - 2(\sin x)(2 \cos x) + (2 \cos x)^2 = (\sin x - 2 \cos x)^2 $.
Подставим это выражение обратно в уравнение:$ \cos x + \sqrt{(\sin x - 2 \cos x)^2} = 0 $.
Используя свойство $ \sqrt{a^2} = |a| $, уравнение принимает вид:$ \cos x + |\sin x - 2 \cos x| = 0 $.
Изолируем модуль:$ |\sin x - 2 \cos x| = -\cos x $.
Из этого равенства следует, что его правая часть должна быть неотрицательной (так как модуль всегда неотрицателен): $ -\cos x \ge 0 $, что равносильно $ \cos x \le 0 $. Это означает, что решения могут находиться только во второй или третьей координатных четвертях.
Раскроем модуль, рассмотрев два возможных случая.
Случай 1: $ \sin x - 2 \cos x \ge 0 $.
В этом случае уравнение принимает вид: $ \sin x - 2 \cos x = -\cos x $, откуда $ \sin x = \cos x $.
Если $ \cos x \ne 0 $, делим обе части на $ \cos x $ и получаем $ \tan x = 1 $. Решения этого уравнения: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Теперь проверим выполнение условий для этой серии решений.
1. $ \cos x \le 0 $. Это условие выполняется для углов во второй и третьей четвертях. Из серии $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n $ этому условию удовлетворяют только углы в третьей четверти, то есть $ x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.
2. $ \sin x - 2 \cos x \ge 0 $. Проверим это для $ x = \frac{5\pi}{4} $:$ \sin(\frac{5\pi}{4}) - 2\cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - 2(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Так как $ \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 $, условие выполняется.
Следовательно, серия $ x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $ является решением.
Случай 2: $ \sin x - 2 \cos x < 0 $.
В этом случае уравнение принимает вид: $ -(\sin x - 2 \cos x) = -\cos x $, откуда $ -\sin x + 2\cos x = -\cos x $, что приводит к $ \sin x = 3\cos x $.
Разделив на $ \cos x \ne 0 $, получаем $ \tan x = 3 $. Решения этого уравнения: $ x = \arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Проверим выполнение условий для этой серии.
1. $ \cos x \le 0 $. Угол $ \arctan(3) $ находится в первой четверти. Условие $ \cos x \le 0 $ будет выполняться, когда угол находится в третьей четверти, то есть для $ x = \pi + \arctan(3) + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.
2. $ \sin x - 2 \cos x < 0 $. Проверим это для $ x = \pi + \arctan(3) $. Пусть $ \alpha = \arctan(3) $. Тогда $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha $ и $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha $.
Выражение $ \sin x - 2 \cos x $ становится $ -\sin\alpha - 2(-\cos\alpha) = 2\cos\alpha - \sin\alpha $.
Так как $ \tan\alpha = 3 $, то $ \sin\alpha = 3\cos\alpha $. Подставим это: $ 2\cos\alpha - 3\cos\alpha = -\cos\alpha $.
Поскольку $ \alpha = \arctan(3) $ находится в I четверти, $ \cos\alpha > 0 $, и, следовательно, $ -\cos\alpha < 0 $. Условие выполнено.
Следовательно, серия $ x = \pi + \arctan(3) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ также является решением.
Ответ: $ x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $; $ x = \pi + \arctan(3) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.