Номер 25.7, страница 158, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

25.7. a) $\frac{\text{tg}^2 2x - \text{tg}^2 x}{1 - \text{tg}^2 2x \text{tg}^2 x} = \text{tg} 3x \text{tg} x;$

б) $\frac{\text{tg}^2 30^\circ - \text{tg}^2 15^\circ}{1 - \text{tg}^2 30^\circ \text{tg}^2 15^\circ} = \text{tg} 15^\circ.$

а)

Требуется доказать тождество: $\frac{\tg^2 2x - \tg^2 x}{1 - \tg^2 2x \tg^2 x} = \tg 3x \tg x$.

Преобразуем левую часть равенства (ЛЧ). Для числителя и знаменателя применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

ЛЧ = $\frac{(\tg 2x - \tg x)(\tg 2x + \tg x)}{(1 - \tg 2x \tg x)(1 + \tg 2x \tg x)}$

Перегруппируем множители в виде двух отдельных дробей:

ЛЧ = $\left(\frac{\tg 2x + \tg x}{1 - \tg 2x \tg x}\right) \cdot \left(\frac{\tg 2x - \tg x}{1 + \tg 2x \tg x}\right)$

Используем формулы тангенса суммы и тангенса разности двух углов:

$\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}$

$\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta}$

Применив эти формулы для $\alpha = 2x$ и $\beta = x$, получаем:

Первый множитель: $\frac{\tg 2x + \tg x}{1 - \tg 2x \tg x} = \tg(2x + x) = \tg(3x)$.

Второй множитель: $\frac{\tg 2x - \tg x}{1 + \tg 2x \tg x} = \tg(2x - x) = \tg(x)$.

Следовательно, левая часть исходного равенства равна произведению этих двух выражений:

ЛЧ = $\tg(3x) \tg(x)$.

Мы получили выражение, стоящее в правой части равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Требуется доказать равенство: $\frac{\tg^2 30^\circ - \tg^2 15^\circ}{1 - \tg^2 30^\circ \tg^2 15^\circ} = \tg 15^\circ$.

Преобразуем левую часть равенства (ЛЧ). Ее структура аналогична выражению из пункта а). Воспользуемся общим результатом, полученным в ходе доказательства в предыдущем пункте:

$\frac{\tg^2 \alpha - \tg^2 \beta}{1 - \tg^2 \alpha \tg^2 \beta} = \tg(\alpha + \beta) \tg(\alpha - \beta)$.

Подставим в эту формулу значения $\alpha = 30^\circ$ и $\beta = 15^\circ$:

ЛЧ = $\tg(30^\circ + 15^\circ) \tg(30^\circ - 15^\circ)$.

Вычислим значения в скобках:

ЛЧ = $\tg(45^\circ) \tg(15^\circ)$.

Значение тангенса $45^\circ$ является табличным и равно 1:

$\tg(45^\circ) = 1$.

Подставляя это значение, получаем:

ЛЧ = $1 \cdot \tg(15^\circ) = \tg(15^\circ)$.

Таким образом, левая часть равна правой части, и равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.