Номер 25.13, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

25.13. a) Зная, что $\operatorname{tg} \alpha = 3$ и $\operatorname{tg} (\alpha + \beta) = 1$, вычислите $\operatorname{tg} \beta$;

б) зная, что $\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{4}$ и $\operatorname{tg} (\alpha - \beta) = 2$, вычислите $\operatorname{tg} \beta$.

а)

Для решения этой задачи воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha \cdot tg \beta}$

По условию нам известно, что $tg \alpha = 3$ и $tg(\alpha + \beta) = 1$. Подставим эти значения в формулу:

$1 = \frac{3 + tg \beta}{1 - 3 \cdot tg \beta}$

Теперь необходимо решить полученное уравнение относительно $tg \beta$. Для удобства введем замену: пусть $x = tg \beta$.

$1 = \frac{3 + x}{1 - 3x}$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(1 - 3x)$, при условии, что он не равен нулю ($1 - 3x \neq 0$):

$1 \cdot (1 - 3x) = 3 + x$

$1 - 3x = 3 + x$

Соберем все слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения, а числовые значения — в правой:

$-3x - x = 3 - 1$

$-4x = 2$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$

Таким образом, $tg \beta = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $tg \beta = -\frac{1}{2}$.

б)

Для решения этой задачи воспользуемся формулой тангенса разности двух углов:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{tg \alpha - tg \beta}{1 + tg \alpha \cdot tg \beta}$

По условию нам известно, что $tg \alpha = \frac{1}{4}$ и $tg(\alpha - \beta) = 2$. Подставим эти значения в формулу:

$2 = \frac{\frac{1}{4} - tg \beta}{1 + \frac{1}{4} \cdot tg \beta}$

Теперь решим это уравнение относительно $tg \beta$. Введем замену: пусть $y = tg \beta$.

$2 = \frac{\frac{1}{4} - y}{1 + \frac{y}{4}}$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(1 + \frac{y}{4})$, при условии, что он не равен нулю ($1 + \frac{y}{4} \neq 0$):

$2 \cdot (1 + \frac{y}{4}) = \frac{1}{4} - y$

$2 + \frac{2y}{4} = \frac{1}{4} - y$

$2 + \frac{y}{2} = \frac{1}{4} - y$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 4:

$4 \cdot (2 + \frac{y}{2}) = 4 \cdot (\frac{1}{4} - y)$

$8 + 2y = 1 - 4y$

Соберем все слагаемые с переменной $y$ в левой части уравнения, а числовые значения — в правой:

$2y + 4y = 1 - 8$

$6y = -7$

Отсюда находим $y$:

$y = -\frac{7}{6}$

Таким образом, $tg \beta = -\frac{7}{6}$.

Ответ: $tg \beta = -\frac{7}{6}$.