Номер 25.10, страница 158, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

25.10. Вычислите:

а) $\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$, если $\text{tg}\, \alpha = \frac{2}{3}$;

б) $\text{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right)$, если $\text{tg}\, \alpha = \frac{4}{5}$.

а) Для вычисления значения $tg(\frac{\pi}{4} - \alpha)$ воспользуемся формулой тангенса разности:

$tg(x - y) = \frac{tg(x) - tg(y)}{1 + tg(x) \cdot tg(y)}$

В нашем случае $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = \alpha$. Подставим эти значения в формулу:

$tg(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{tg(\frac{\pi}{4}) - tg(\alpha)}{1 + tg(\frac{\pi}{4}) \cdot tg(\alpha)}$

Известно, что $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$. По условию задачи $tg(\alpha) = \frac{2}{3}$. Подставим эти значения в выражение:

$tg(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{1 - \frac{2}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{2}{3}} = \frac{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}}$

Упростим полученную дробь:

$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

б) Для вычисления значения $tg(\alpha + \frac{\pi}{3})$ воспользуемся формулой тангенса суммы:

$tg(x + y) = \frac{tg(x) + tg(y)}{1 - tg(x) \cdot tg(y)}$

В нашем случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{3}$. Подставим эти значения в формулу:

$tg(\alpha + \frac{\pi}{3}) = \frac{tg(\alpha) + tg(\frac{\pi}{3})}{1 - tg(\alpha) \cdot tg(\frac{\pi}{3})}$

Известно, что $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$. По условию задачи $tg(\alpha) = \frac{4}{5}$. Подставим эти значения в выражение:

$tg(\alpha + \frac{\pi}{3}) = \frac{\frac{4}{5} + \sqrt{3}}{1 - \frac{4}{5} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\frac{4 + 5\sqrt{3}}{5}}{\frac{5 - 4\sqrt{3}}{5}}$

Упростим полученную дробь, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{4 + 5\sqrt{3}}{5 - 4\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $(5 + 4\sqrt{3})$:

$\frac{(4 + 5\sqrt{3})(5 + 4\sqrt{3})}{(5 - 4\sqrt{3})(5 + 4\sqrt{3})} = \frac{4 \cdot 5 + 4 \cdot 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} \cdot 5 + 5\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}}{5^2 - (4\sqrt{3})^2} = \frac{20 + 16\sqrt{3} + 25\sqrt{3} + 20 \cdot 3}{25 - 16 \cdot 3} = \frac{20 + 41\sqrt{3} + 60}{25 - 48} = \frac{80 + 41\sqrt{3}}{-23}$

Вынесем знак минуса перед дробью:

$-\frac{80 + 41\sqrt{3}}{23}$

Ответ: $-\frac{80 + 41\sqrt{3}}{23}$