Номер 25.16, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

25.16. Дано: $\alpha - \beta = \frac{\pi}{4}$. Докажите, что:

a) $\frac{1 + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \beta} = \operatorname{tg} \alpha;$

б) $\frac{\operatorname{tg} \alpha - 1}{\operatorname{tg} \alpha + 1} = \operatorname{tg} \beta.$

а)

По условию задачи дано, что $\alpha - \beta = \frac{\pi}{4}$. Из этого соотношения выразим угол $\alpha$ через $\beta$:

$\alpha = \beta + \frac{\pi}{4}$

Теперь докажем тождество $\frac{1 + \text{tg } \beta}{1 - \text{tg } \beta} = \text{tg } \alpha$. Для этого преобразуем правую часть, подставив в нее полученное выражение для $\alpha$.

$\text{tg } \alpha = \text{tg} \left(\beta + \frac{\pi}{4}\right)$

Применим формулу тангенса суммы двух углов, которая имеет вид: $\text{tg}(x+y) = \frac{\text{tg } x + \text{tg } y}{1 - \text{tg } x \text{tg } y}$.

В нашем случае $x = \beta$ и $y = \frac{\pi}{4}$.

$\text{tg} \left(\beta + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg } \beta + \text{tg} \frac{\pi}{4}}{1 - \text{tg } \beta \text{tg} \frac{\pi}{4}}$

Зная, что $\text{tg} \frac{\pi}{4} = 1$, подставим это значение в выражение:

$\frac{\text{tg } \beta + 1}{1 - \text{tg } \beta \cdot 1} = \frac{1 + \text{tg } \beta}{1 - \text{tg } \beta}$

Мы преобразовали правую часть исходного равенства ($\text{tg } \alpha$) и получили в точности левую часть. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Снова воспользуемся данным условием $\alpha - \beta = \frac{\pi}{4}$. На этот раз выразим угол $\beta$ через $\alpha$:

$\beta = \alpha - \frac{\pi}{4}$

Докажем тождество $\frac{\text{tg } \alpha - 1}{\text{tg } \alpha + 1} = \text{tg } \beta$. Преобразуем правую часть, подставив в нее выражение для $\beta$.

$\text{tg } \beta = \text{tg} \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$

Применим формулу тангенса разности двух углов: $\text{tg}(x-y) = \frac{\text{tg } x - \text{tg } y}{1 + \text{tg } x \text{tg } y}$.

В нашем случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4}$.

$\text{tg} \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg } \alpha - \text{tg} \frac{\pi}{4}}{1 + \text{tg } \alpha \text{tg} \frac{\pi}{4}}$

Поскольку $\text{tg} \frac{\pi}{4} = 1$, подставляем это значение:

$\frac{\text{tg } \alpha - 1}{1 + \text{tg } \alpha \cdot 1} = \frac{\text{tg } \alpha - 1}{\text{tg } \alpha + 1}$

Преобразованная правая часть ($\text{tg } \beta$) совпала с левой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Равенство доказано.