Номер 25.18, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

25.18. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $ [-\pi; 2\pi] $:

a) $ \frac{\sqrt{3} - \tg x}{1 + \sqrt{3} \tg x} = 1; $

б) $ \frac{\tg \frac{\pi}{5} - \tg 2x}{\tg \frac{\pi}{5} \tg 2x + 1} = \sqrt{3}. $

Дано уравнение $\frac{\sqrt{3} - \text{tg } x}{1 + \sqrt{3} \text{ tg } x} = 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $\cos x \ne 0$ и $1 + \sqrt{3} \text{ tg } x \ne 0$. Из этих условий следует, что $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi m$ и $\text{tg } x \ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$, то есть $x \ne -\frac{\pi}{6} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Заменим $\sqrt{3}$ на $\text{tg} \frac{\pi}{3}$, так как это табличное значение тангенса. Уравнение примет вид:

$\frac{\text{tg} \frac{\pi}{3} - \text{tg } x}{1 + \text{tg} \frac{\pi}{3} \text{ tg } x} = 1$.

Левая часть уравнения соответствует формуле тангенса разности: $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg } \alpha - \text{tg } \beta}{1 + \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta}$.

Применив эту формулу, получаем более простое уравнение:

$\text{tg}(\frac{\pi}{3} - x) = 1$.

Общее решение этого уравнения: $\frac{\pi}{3} - x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$ из этого соотношения:

$-x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi k$

$-x = \frac{3\pi - 4\pi}{12} + \pi k$

$-x = -\frac{\pi}{12} + \pi k$

$x = \frac{\pi}{12} - \pi k$.

Поскольку $k$ является любым целым числом, мы можем заменить $-k$ на $n$ ($n \in \mathbb{Z}$) для удобства, получив $x = \frac{\pi}{12} + \pi n$.

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $[-\pi; 2\pi]$. Для этого решим двойное неравенство относительно $n$:

$-\pi \le \frac{\pi}{12} + \pi n \le 2\pi$.

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-1 \le \frac{1}{12} + n \le 2$.

Вычтем $\frac{1}{12}$ из всех частей:

$-1 - \frac{1}{12} \le n \le 2 - \frac{1}{12}$

$-\frac{13}{12} \le n \le \frac{23}{12}$.

В десятичном виде это выглядит так: $-1.083... \le n \le 1.916...$.

Целые значения $n$, которые удовлетворяют этому неравенству: $n = -1, 0, 1$.

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $n$:

• При $n = -1: x = \frac{\pi}{12} + \pi(-1) = \frac{\pi - 12\pi}{12} = -\frac{11\pi}{12}$.
• При $n = 0: x = \frac{\pi}{12} + \pi(0) = \frac{\pi}{12}$.
• При $n = 1: x = \frac{\pi}{12} + \pi(1) = \frac{\pi + 12\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$.

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\frac{11\pi}{12}, \frac{\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}$.

Дано уравнение $\frac{\text{tg} \frac{\pi}{5} - \text{tg } 2x}{\text{tg} \frac{\pi}{5} \text{ tg } 2x + 1} = \sqrt{3}$.

ОДЗ: $\cos 2x \ne 0 \implies 2x \ne \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$ и $1 + \text{tg} \frac{\pi}{5} \text{ tg } 2x \ne 0$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Левая часть уравнения представляет собой формулу тангенса разности $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg } \alpha - \text{tg } \beta}{1 + \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta}$, где $\alpha = \frac{\pi}{5}$ и $\beta = 2x$.

Применив эту формулу, получим уравнение:

$\text{tg}(\frac{\pi}{5} - 2x) = \sqrt{3}$.

Общее решение этого уравнения: $\frac{\pi}{5} - 2x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:

$-2x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} + \pi k$

$-2x = \frac{5\pi - 3\pi}{15} + \pi k$

$-2x = \frac{2\pi}{15} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{15} - \frac{\pi k}{2}$.

Заменив $k$ на $-n$ ($n \in \mathbb{Z}$), получим $x = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{2}$.

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $[-\pi; 2\pi]$. Решим двойное неравенство относительно $n$:

$-\pi \le -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{2} \le 2\pi$.

Разделим все части на $\pi$:

$-1 \le -\frac{1}{15} + \frac{n}{2} \le 2$.

Прибавим $\frac{1}{15}$ ко всем частям:

$-1 + \frac{1}{15} \le \frac{n}{2} \le 2 + \frac{1}{15}$

$-\frac{14}{15} \le \frac{n}{2} \le \frac{31}{15}$.

Умножим все части на 2:

$-\frac{28}{15} \le n \le \frac{62}{15}$.

В десятичном виде: $-1.866... \le n \le 4.133...$.

Целые значения $n$, которые удовлетворяют этому неравенству: $n = -1, 0, 1, 2, 3, 4$.

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $n$:

• При $n = -1: x = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi(-1)}{2} = \frac{-2\pi - 15\pi}{30} = -\frac{17\pi}{30}$.
• При $n = 0: x = -\frac{\pi}{15} + 0 = -\frac{\pi}{15}$.
• При $n = 1: x = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi}{2} = \frac{-2\pi + 15\pi}{30} = \frac{13\pi}{30}$.
• При $n = 2: x = -\frac{\pi}{15} + \frac{2\pi}{2} = -\frac{\pi}{15} + \pi = \frac{14\pi}{15}$.
• При $n = 3: x = -\frac{\pi}{15} + \frac{3\pi}{2} = \frac{-2\pi + 45\pi}{30} = \frac{43\pi}{30}$.
• При $n = 4: x = -\frac{\pi}{15} + \frac{4\pi}{2} = -\frac{\pi}{15} + 2\pi = \frac{29\pi}{15}$.

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\frac{17\pi}{30}, -\frac{\pi}{15}, \frac{13\pi}{30}, \frac{14\pi}{15}, \frac{43\pi}{30}, \frac{29\pi}{15}$.