Номер 26.1, страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Упростите выражение:

26.1. а) $ \sin \left( \frac{\pi}{2} - t \right) $;

б) $ \cos (2\pi - t) $;

в) $ \cos \left( \frac{3\pi}{2} + t \right) $;

г) $ \sin (\pi + t) $.

а) Для упрощения выражения $ \sin(\frac{\pi}{2} - t) $ используются формулы приведения. Мнемоническое правило для их применения состоит из двух шагов:

1. Определение названия итоговой функции. Если в исходном аргументе присутствует $ \frac{\pi}{2} $ или $ \frac{3\pi}{2} $ (точки на вертикальной оси единичной окружности), то функция меняется на кофункцию ($ \sin $ на $ \cos $, $ \tan $ на $ \cot $ и наоборот). В данном случае в аргументе есть $ \frac{\pi}{2} $, поэтому $ \sin $ меняется на $ \cos $.

2. Определение знака итоговой функции. Знак определяется по знаку исходной функции в той четверти, в которой находится угол. Если считать $ t $ малым острым углом, то угол $ \frac{\pi}{2} - t $ находится в I координатной четверти. Синус в I четверти имеет знак «+».

Таким образом, $ \sin(\frac{\pi}{2} - t) = \cos(t) $.

Ответ: $ \cos(t) $

б) Упростим выражение $ \cos(2\pi - t) $.

1. Определение названия функции. Если в аргументе присутствует $ \pi $ или $ 2\pi $ (точки на горизонтальной оси), то название функции не меняется. В данном случае $ \cos $ остается $ \cos $.

2. Определение знака. Угол $ 2\pi - t $ находится в IV четверти. Косинус в IV четверти имеет знак «+».

Также можно учесть, что косинус — периодическая функция с периодом $ 2\pi $, поэтому $ \cos(2\pi - t) = \cos(-t) $. А так как косинус — чётная функция, $ \cos(-t) = \cos(t) $.

Таким образом, $ \cos(2\pi - t) = \cos(t) $.

Ответ: $ \cos(t) $

в) Упростим выражение $ \cos(\frac{3\pi}{2} + t) $.

1. Определение названия функции. В аргументе присутствует $ \frac{3\pi}{2} $, поэтому функция $ \cos $ меняется на кофункцию $ \sin $.

2. Определение знака. Угол $ \frac{3\pi}{2} + t $ находится в IV четверти. Исходная функция $ \cos $ в IV четверти имеет знак «+».

Таким образом, $ \cos(\frac{3\pi}{2} + t) = \sin(t) $.

Ответ: $ \sin(t) $

г) Упростим выражение $ \sin(\pi + t) $.

1. Определение названия функции. В аргументе присутствует $ \pi $, поэтому название функции $ \sin $ не меняется.

2. Определение знака. Угол $ \pi + t $ находится в III четверти. Исходная функция $ \sin $ в III четверти имеет знак «-».

Таким образом, $ \sin(\pi + t) = -\sin(t) $.

Ответ: $ -\sin(t) $