Номер 26.6, страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.6. a) $\cos \frac{5\pi}{3}$;

б) $\sin \left(-\frac{11\pi}{6}\right)$;

в) $\sin \frac{7\pi}{6}$;

г) $\cos \left(-\frac{7\pi}{3}\right)$.

а)

Чтобы найти значение $\cos\frac{5\pi}{3}$, воспользуемся формулами приведения. Угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в IV четверти, где косинус положителен. Представим аргумент в виде разности:

$\frac{5\pi}{3} = \frac{6\pi - \pi}{3} = 2\pi - \frac{\pi}{3}$

Так как функция косинуса периодична с периодом $2\pi$, мы можем использовать формулу приведения $\cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha)$.

$\cos\frac{5\pi}{3} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3}$

Значение $\cos\frac{\pi}{3}$ является табличным.

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б)

Для вычисления $\sin(-\frac{11\pi}{6})$ можно использовать свойство нечетности функции синуса, $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, или свойство периодичности. Воспользуемся периодичностью, так как это упрощает вычисления. Период синуса равен $2\pi$. Мы можем прибавить к аргументу $2\pi$ (или $ \frac{12\pi}{6} $), чтобы получить угол в пределах от $0$ до $2\pi$.

$\sin(-\frac{11\pi}{6}) = \sin(-\frac{11\pi}{6} + 2\pi) = \sin(-\frac{11\pi}{6} + \frac{12\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6})$

Значение $\sin\frac{\pi}{6}$ является табличным.

$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в)

Чтобы найти значение $\sin\frac{7\pi}{6}$, применим формулы приведения. Угол $\frac{7\pi}{6}$ находится в III четверти, где синус отрицателен. Представим аргумент в виде суммы:

$\frac{7\pi}{6} = \frac{6\pi + \pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$

Используем формулу приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$.

$\sin\frac{7\pi}{6} = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin\frac{\pi}{6}$

Значение $\sin\frac{\pi}{6}$ является табличным.

$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Следовательно:

$-\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г)

Для вычисления $\cos(-\frac{7\pi}{3})$ используем свойство четности функции косинуса, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, а также ее периодичность.

Сначала применим свойство четности:

$\cos(-\frac{7\pi}{3}) = \cos\frac{7\pi}{3}$

Теперь воспользуемся периодичностью. Период косинуса равен $2\pi$. Представим аргумент $\frac{7\pi}{3}$ в виде суммы, выделив целое число периодов:

$\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$

Так как $\cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha)$, получаем:

$\cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3}$

Значение $\cos\frac{\pi}{3}$ является табличным.

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.