Номер 25.22, страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

25.22. Вычислите:

а) $ \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{4} + \operatorname{arctg} \frac{2}{7}\right); $

б) $ \operatorname{tg} \left(\frac{3\pi}{4} - \operatorname{arccos} \left(-\frac{3}{5}\right)\right); $

в) $ \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{3} - \operatorname{arcctg} \frac{1}{3}\right); $

г) $ \operatorname{tg} \left(\operatorname{arcsin} \frac{4}{5} + \operatorname{arcctg} \frac{3}{4}\right). $

а)

Для вычисления данного выражения воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: $\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}$.

В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{4}$ и $\beta = \arctg \frac{2}{7}$.

Найдем значения тангенсов для каждого из углов:

$\tg \alpha = \tg\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

$\tg \beta = \tg\left(\arctg \frac{2}{7}\right) = \frac{2}{7}$ (по определению арктангенса).

Теперь подставим эти значения в формулу:

$\tg\left(\frac{\pi}{4} + \arctg \frac{2}{7}\right) = \frac{1 + \frac{2}{7}}{1 - 1 \cdot \frac{2}{7}} = \frac{\frac{7+2}{7}}{\frac{7-2}{7}} = \frac{\frac{9}{7}}{\frac{5}{7}} = \frac{9}{5}$.

Ответ: $\frac{9}{5}$.

б)

Сначала преобразуем выражение, используя свойство арккосинуса $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$:

$\tg\left(\frac{3\pi}{4} - \arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right) = \tg\left(\frac{3\pi}{4} - \left(\pi - \arccos\frac{3}{5}\right)\right) = \tg\left(\frac{3\pi}{4} - \pi + \arccos\frac{3}{5}\right) = \tg\left(-\frac{\pi}{4} + \arccos\frac{3}{5}\right)$.

Используем свойство нечетности тангенса $\tg(-x) = -\tg x$:

$-\tg\left(\frac{\pi}{4} - \arccos\frac{3}{5}\right)$.

Теперь применим формулу тангенса разности $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta}$, где $\alpha = \frac{\pi}{4}$ и $\beta = \arccos\frac{3}{5}$.

$\tg \alpha = \tg\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

Чтобы найти $\tg \beta = \tg\left(\arccos\frac{3}{5}\right)$, пусть $\gamma = \arccos\frac{3}{5}$. Тогда $\cos \gamma = \frac{3}{5}$ и угол $\gamma$ находится в первой четверти $\left(0 \le \gamma \le \frac{\pi}{2}\right)$.

Найдем $\sin \gamma$ из основного тригонометрического тождества:

$\sin \gamma = \sqrt{1 - \cos^2\gamma} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Тогда $\tg \beta = \tg \gamma = \frac{\sin \gamma}{\cos \gamma} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.

Подставляем все найденные значения:

$-\frac{\tg\frac{\pi}{4} - \tg\left(\arccos\frac{3}{5}\right)}{1 + \tg\frac{\pi}{4} \cdot \tg\left(\arccos\frac{3}{5}\right)} = -\frac{1 - \frac{4}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{4}{3}} = -\frac{\frac{3-4}{3}}{\frac{3+4}{3}} = -\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{7}{3}} = - \left(-\frac{1}{7}\right) = \frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{7}$.

в)

Воспользуемся формулой тангенса разности $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta}$.

Здесь $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = \arcctg \frac{1}{3}$.

Найдем значения тангенсов:

$\tg \alpha = \tg\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$.

$\tg \beta = \tg\left(\arcctg \frac{1}{3}\right)$. Используя тождество $\tg(\arcctg x) = \frac{1}{x}$, получаем $\tg \beta = \frac{1}{1/3} = 3$.

Подставляем значения в формулу:

$\tg\left(\frac{\pi}{3} - \arcctg \frac{1}{3}\right) = \frac{\sqrt{3} - 3}{1 + \sqrt{3} \cdot 3} = \frac{\sqrt{3} - 3}{1 + 3\sqrt{3}}$.

Для упрощения дроби избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(1 - 3\sqrt{3})$:

$\frac{(\sqrt{3} - 3)(1 - 3\sqrt{3})}{(1 + 3\sqrt{3})(1 - 3\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot (-3\sqrt{3}) - 3 \cdot 1 - 3 \cdot (-3\sqrt{3})}{1^2 - (3\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{3} - 9 - 3 + 9\sqrt{3}}{1 - 9 \cdot 3} = \frac{10\sqrt{3} - 12}{1 - 27} = \frac{10\sqrt{3} - 12}{-26} = \frac{12 - 10\sqrt{3}}{26} = \frac{2(6 - 5\sqrt{3})}{2 \cdot 13} = \frac{6 - 5\sqrt{3}}{13}$.

Ответ: $\frac{6 - 5\sqrt{3}}{13}$.

г)

Применим формулу тангенса суммы $\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}$.

В нашем выражении $\alpha = \arcsin \frac{4}{5}$ и $\beta = \arcctg \frac{3}{4}$.

Найдем тангенс каждого из углов.

1. Для $\alpha = \arcsin \frac{4}{5}$: пусть $\gamma = \arcsin \frac{4}{5}$. Тогда $\sin \gamma = \frac{4}{5}$, и так как $0 < \frac{4}{5} \le 1$, угол $\gamma$ лежит в первой четверти $\left(0 < \gamma \le \frac{\pi}{2}\right)$.

$\cos \gamma = \sqrt{1 - \sin^2\gamma} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

$\tg \alpha = \tg \gamma = \frac{\sin \gamma}{\cos \gamma} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.

2. Для $\beta = \arcctg \frac{3}{4}$:

$\tg \beta = \tg\left(\arcctg \frac{3}{4}\right) = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.

Теперь подставляем найденные значения в формулу тангенса суммы:

$\tg\left(\arcsin \frac{4}{5} + \arcctg \frac{3}{4}\right) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} = \frac{\frac{4}{3} + \frac{4}{3}}{1 - \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3}} = \frac{\frac{8}{3}}{1 - \frac{16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{9-16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}} = \frac{8}{3} \cdot \left(-\frac{9}{7}\right) = -\frac{8 \cdot 3}{7} = -\frac{24}{7}$.

Ответ: $-\frac{24}{7}$.