Страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

29.26. Решите неравенство:

a) $\sin\left(\frac{\pi}{8} + x\right) \sin\left(\frac{\pi}{8} - x\right) < 0;$

б) $\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}\right) \ge 0;$

в) $\sin\left(x - \frac{5\pi}{12}\right) \cos\left(x + \frac{5\pi}{12}\right) \le 0;$

г) $\cos\frac{3x + \pi}{6} \cos\frac{3x - \pi}{6} > 0.$

а) $ \sin(\frac{\pi}{8} + x) \sin(\frac{\pi}{8} - x) < 0 $

Для решения данного неравенства воспользуемся формулой произведения синусов: $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.

Пусть $ \alpha = \frac{\pi}{8} + x $ и $ \beta = \frac{\pi}{8} - x $. Тогда:

$ \alpha - \beta = (\frac{\pi}{8} + x) - (\frac{\pi}{8} - x) = 2x $

$ \alpha + \beta = (\frac{\pi}{8} + x) + (\frac{\pi}{8} - x) = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} $

Подставим эти значения в формулу и в исходное неравенство:

$ \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(\frac{\pi}{4})) < 0 $

$ \cos(2x) - \cos(\frac{\pi}{4}) < 0 $

$ \cos(2x) < \cos(\frac{\pi}{4}) $

$ \cos(2x) < \frac{\sqrt{2}}{2} $

Решим неравенство $ \cos t < \frac{\sqrt{2}}{2} $ для $ t = 2x $. Используя тригонометрическую окружность, находим, что решением является интервал:

$ \frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < 2\pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ \frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Теперь вернемся к переменной $x$:

$ \frac{\pi}{4} + 2\pi k < 2x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k $

Разделим все части неравенства на 2:

$ \frac{\pi}{8} + \pi k < x < \frac{7\pi}{8} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{8} + \pi k; \frac{7\pi}{8} + \pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{x}{2}) \cos(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}) \ge 0 $

Воспользуемся формулой произведения синуса на косинус: $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $.

Пусть $ \alpha = \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2} $ и $ \beta = \frac{\pi}{6} - \frac{x}{2} $. Тогда:

$ \alpha + \beta = (\frac{\pi}{6} + \frac{x}{2}) + (\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} $

$ \alpha - \beta = (\frac{\pi}{6} + \frac{x}{2}) - (\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}) = x $

Подставим эти значения в неравенство:

$ \frac{1}{2}(\sin(\frac{\pi}{3}) + \sin(x)) \ge 0 $

$ \sin(\frac{\pi}{3}) + \sin(x) \ge 0 $

$ \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin(x) \ge 0 $

$ \sin(x) \ge -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Решая это неравенство с помощью тригонометрической окружности, находим:

$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \pi - (-\frac{\pi}{3}) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{4\pi}{3} + 2\pi k] $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \sin(x - \frac{5\pi}{12}) \cos(x + \frac{5\pi}{12}) \le 0 $

Используем формулу $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $.

Пусть $ \alpha = x - \frac{5\pi}{12} $ и $ \beta = x + \frac{5\pi}{12} $. Тогда:

$ \alpha + \beta = (x - \frac{5\pi}{12}) + (x + \frac{5\pi}{12}) = 2x $

$ \alpha - \beta = (x - \frac{5\pi}{12}) - (x + \frac{5\pi}{12}) = -\frac{10\pi}{12} = -\frac{5\pi}{6} $

Подставим в неравенство:

$ \frac{1}{2}(\sin(2x) + \sin(-\frac{5\pi}{6})) \le 0 $

Так как синус — нечетная функция, $ \sin(-\frac{5\pi}{6}) = -\sin(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{2} $.

$ \sin(2x) - \frac{1}{2} \le 0 $

$ \sin(2x) \le \frac{1}{2} $

Решим неравенство $ \sin t \le \frac{1}{2} $ для $ t = 2x $. Решением является объединение промежутков:

$ \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le t \le 2\pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{13\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Подставляем $ t = 2x $:

$ \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le 2x \le \frac{13\pi}{6} + 2\pi k $

Делим на 2:

$ \frac{5\pi}{12} + \pi k \le x \le \frac{13\pi}{12} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x \in [\frac{5\pi}{12} + \pi k; \frac{13\pi}{12} + \pi k] $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

г) $ \cos\frac{3x + \pi}{6} \cos\frac{3x - \pi}{6} > 0 $

Воспользуемся формулой произведения косинусов: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) $.

Пусть $ \alpha = \frac{3x + \pi}{6} $ и $ \beta = \frac{3x - \pi}{6} $. Тогда:

$ \alpha - \beta = \frac{3x + \pi}{6} - \frac{3x - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} $

$ \alpha + \beta = \frac{3x + \pi}{6} + \frac{3x - \pi}{6} = \frac{6x}{6} = x $

Подставим в неравенство:

$ \frac{1}{2}(\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(x)) > 0 $

$ \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(x) > 0 $

$ \frac{1}{2} + \cos(x) > 0 $

$ \cos(x) > -\frac{1}{2} $

Решая это неравенство с помощью тригонометрической окружности, находим:

$ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x \in (-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

29.27. Решите систему уравнений:

а) Рассмотрим данную систему уравнений:
$ \begin{cases} \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = \frac{1}{2} \\ 2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2} = \frac{1}{3} \end{cases} $
Для решения системы применим формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. В частности, формулу $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.
Пусть $\alpha = \frac{x+y}{2}$ и $\beta = \frac{x-y}{2}$. Тогда $\alpha+\beta = x$ и $\alpha-\beta = y$.
Применим это к первому уравнению:
$\frac{1}{2}(\sin x + \sin y) = \frac{1}{2} \implies \sin x + \sin y = 1$.
Второе уравнение $2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2} = \frac{1}{3}$ можно записать как $2 \sin \beta \cos \alpha = \frac{1}{3}$. Используя ту же формулу, но с учетом, что $\beta-\alpha = -y$, получим:
$2 \cdot \frac{1}{2}(\sin(\beta+\alpha) + \sin(\beta-\alpha)) = \frac{1}{3} \implies \sin x + \sin(-y) = \frac{1}{3} \implies \sin x - \sin y = \frac{1}{3}$.
Таким образом, исходная система сводится к системе линейных уравнений относительно $\sin x$ и $\sin y$:
$\begin{cases} \sin x + \sin y = 1 \\ \sin x - \sin y = \frac{1}{3} \end{cases}$
Сложим два уравнения: $2 \sin x = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$, откуда $\sin x = \frac{2}{3}$.
Вычтем второе уравнение из первого: $2 \sin y = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$, откуда $\sin y = \frac{1}{3}$.
Решениями этих простейших тригонометрических уравнений являются:
$x = (-1)^k \arcsin\frac{2}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$y = (-1)^n \arcsin\frac{1}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\frac{2}{3} + \pi k, y = (-1)^n \arcsin\frac{1}{3} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) Рассмотрим данную систему уравнений:
$\begin{cases} \cos(x+y)\cos(x-y) = \frac{1}{4} \\ \sin(x+y)\sin(x-y) = \frac{3}{4} \end{cases}$
Для решения системы применим формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:
$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$
$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$
Пусть $\alpha = x+y$ и $\beta = x-y$. Тогда $\alpha+\beta = 2x$ и $\alpha-\beta = 2y$.
Применим это к первому уравнению:
$\frac{1}{2}(\cos(2x) + \cos(2y)) = \frac{1}{4} \implies \cos(2x) + \cos(2y) = \frac{1}{2}$.
Применим ко второму уравнению:
$\frac{1}{2}(\cos(2y) - \cos(2x)) = \frac{3}{4} \implies \cos(2y) - \cos(2x) = \frac{3}{2}$.
Таким образом, исходная система сводится к системе линейных уравнений относительно $\cos(2x)$ и $\cos(2y)$:
$\begin{cases} \cos(2x) + \cos(2y) = \frac{1}{2} \\ -\cos(2x) + \cos(2y) = \frac{3}{2} \end{cases}$
Сложим два уравнения: $2 \cos(2y) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$, откуда $\cos(2y) = 1$.
Вычтем второе уравнение из первого: $2 \cos(2x) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -1$, откуда $\cos(2x) = -\frac{1}{2}$.
Решим полученные уравнения:
Из $\cos(2y) = 1$ следует $2y = 2\pi n$, то есть $y = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Из $\cos(2x) = -\frac{1}{2}$ следует $2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, то есть $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, y = \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

29.28. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

a) $y = \sin \left(x + \frac{\pi}{8}\right) \cos \left(x - \frac{\pi}{24}\right);$

б) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right).$

а) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{8}\right)\cos\left(x - \frac{\pi}{24}\right)$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции преобразуем произведение тригонометрических функций в сумму, используя формулу произведения синуса на косинус:

$\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$

В нашем случае $\alpha = x + \frac{\pi}{8}$ и $\beta = x - \frac{\pi}{24}$.

Найдем сумму и разность углов:

$\alpha + \beta = \left(x + \frac{\pi}{8}\right) + \left(x - \frac{\pi}{24}\right) = 2x + \frac{3\pi}{24} - \frac{\pi}{24} = 2x + \frac{2\pi}{24} = 2x + \frac{\pi}{12}$

$\alpha - \beta = \left(x + \frac{\pi}{8}\right) - \left(x - \frac{\pi}{24}\right) = x + \frac{\pi}{8} - x + \frac{\pi}{24} = \frac{3\pi}{24} + \frac{\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$

Подставим полученные выражения в формулу:

$y = \frac{1}{2}\left(\sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$

Так как значение $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, то функция принимает вид:

$y = \frac{1}{2}\left(\sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) + \frac{1}{4}$

Область значений функции синус находится в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) \le 1$.

Чтобы найти наименьшее значение функции ($y_{наим}$), подставим наименьшее значение синуса, равное -1:

$y_{наим} = \frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{4} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$

Чтобы найти наибольшее значение функции ($y_{наиб}$), подставим наибольшее значение синуса, равное 1:

$y_{наиб} = \frac{1}{2}(1) + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: наименьшее значение функции $-\frac{1}{4}$, наибольшее значение $\frac{3}{4}$.

б) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$

Для преобразования произведения синусов в сумму используем формулу произведения синусов:

$\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$

В данном случае $\alpha = x - \frac{\pi}{3}$ и $\beta = x + \frac{\pi}{3}$.

Найдем разность и сумму углов:

$\alpha - \beta = \left(x - \frac{\pi}{3}\right) - \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = - \frac{2\pi}{3}$

$\alpha + \beta = \left(x - \frac{\pi}{3}\right) + \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 2x$

Подставим полученные выражения в формулу:

$y = \frac{1}{2}\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) - \cos(2x)\right)$

Используя свойство четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ и зная, что $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$, получаем:

$y = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2} - \cos(2x)\right) = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cos(2x)$

Область значений функции косинус находится в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \cos(2x) \le 1$.

Чтобы найти наименьшее значение функции ($y_{наим}$), подставим наибольшее значение косинуса, равное 1 (из-за знака "минус" перед $\cos(2x)$):

$y_{наим} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2}(1) = -\frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{3}{4}$

Чтобы найти наибольшее значение функции ($y_{наиб}$), подставим наименьшее значение косинуса, равное -1:

$y_{наиб} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2}(-1) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Ответ: наименьшее значение функции $-\frac{3}{4}$, наибольшее значение $\frac{1}{4}$.

29.29. Постройте график функции:

а) $y = 2 \left| \sin \left( x - \frac{5\pi}{12} \right) \cos \left( x + \frac{5\pi}{12} \right) \right|$;

б) $y = -3 \left| \cos \frac{3x + \pi}{6} \cos \frac{3x - \pi}{6} \right|.$

Постройте график уравнения:

29.30. a) $2 \sin (x + y) \cos y = \sin x;$

б) $2 \cos (x + y) \cos x = \cos y.$

а) $2 \sin(x + y) \cos y = \sin x$

Для решения воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (формула произведения синуса на косинус):

$2 \sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta)$

Применим эту формулу к левой части уравнения, где $\alpha = x + y$ и $\beta = y$:

$2 \sin(x + y) \cos y = \sin(x + y - y) + \sin(x + y + y) = \sin x + \sin(x + 2y)$

Теперь подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$\sin x + \sin(x + 2y) = \sin x$

Вычтем $\sin x$ из обеих частей уравнения:

$\sin(x + 2y) = 0$

Уравнение $\sin t = 0$ имеет решения $t = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно:

$x + 2y = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$

Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение в явном виде:

$2y = -x + k\pi$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Это уравнение описывает бесконечное семейство параллельных прямых. Все прямые имеют угловой коэффициент (наклон) равный $-\frac{1}{2}$ и пересекают ось ординат в точках $\frac{k\pi}{2}$ (например, в точках $...; -\pi; -\frac{\pi}{2}; 0; \frac{\pi}{2}; \pi; ...$).

Ответ: Графиком уравнения является семейство параллельных прямых, заданных формулой $y = -\frac{1}{2}x + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \cos(x + y) \cos x = \cos y$

Для решения воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму:

$2 \cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)$

Применим эту формулу к левой части уравнения, где $\alpha = x + y$ и $\beta = x$:

$2 \cos(x + y) \cos x = \cos(x + y - x) + \cos(x + y + x) = \cos y + \cos(2x + y)$

Теперь подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$\cos y + \cos(2x + y) = \cos y$

Вычтем $\cos y$ из обеих частей уравнения:

$\cos(2x + y) = 0$

Уравнение $\cos t = 0$ имеет решения $t = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно:

$2x + y = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$

Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение в явном виде:

$y = -2x + \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$

Это уравнение описывает бесконечное семейство параллельных прямых. Все прямые имеют угловой коэффициент (наклон) равный $-2$ и пересекают ось ординат в точках $\frac{\pi}{2} + k\pi$ (например, в точках $...; -\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; ...$).

Ответ: Графиком уравнения является семейство параллельных прямых, заданных формулой $y = -2x + \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

29.31. a) $\cos \frac{x(y - 1)}{2} \cos \frac{x(y + 1)}{2} = \cos^2 \frac{x}{2}$;

б) $\sin \frac{y(x + 1)}{2} \cos \frac{y(x - 1)}{2} = \cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{y}{2}\right).$

а)

Исходное уравнение: $ \cos\frac{x(y - 1)}{2} \cos\frac{x(y + 1)}{2} = \cos^2\frac{x}{2} $.

Преобразуем левую часть уравнения с помощью формулы произведения косинусов $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A+B) + \cos(A-B)) $.

Пусть $ A = \frac{x(y+1)}{2} $ и $ B = \frac{x(y-1)}{2} $. Найдем их сумму и разность:

$ A+B = \frac{x(y+1) + x(y-1)}{2} = \frac{xy+x+xy-x}{2} = \frac{2xy}{2} = xy $.

$ A-B = \frac{x(y+1) - x(y-1)}{2} = \frac{xy+x-xy+x}{2} = \frac{2x}{2} = x $.

Таким образом, левая часть уравнения принимает вид: $ \frac{1}{2}(\cos(xy) + \cos(x)) $.

Преобразуем правую часть уравнения с помощью формулы понижения степени $ \cos^2 \alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2} $:

$ \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1+\cos(2 \cdot \frac{x}{2})}{2} = \frac{1+\cos x}{2} $.

Теперь приравняем преобразованные части уравнения:

$ \frac{1}{2}(\cos(xy) + \cos(x)) = \frac{1+\cos x}{2} $.

Умножим обе части на 2:

$ \cos(xy) + \cos(x) = 1 + \cos x $.

Вычтем $ \cos x $ из обеих частей:

$ \cos(xy) = 1 $.

Это уравнение верно, когда аргумент косинуса равен $ 2\pi n $ для любого целого $ n $.

$ xy = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ xy = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б)

Исходное уравнение: $ \sin\frac{y(x + 1)}{2} \cos\frac{y(x - 1)}{2} = \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{y}{2}) $.

Преобразуем левую часть с помощью формулы произведения синуса на косинус $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B)) $.

Пусть $ A = \frac{y(x+1)}{2} $ и $ B = \frac{y(x-1)}{2} $. Найдем их сумму и разность:

$ A+B = \frac{y(x+1) + y(x-1)}{2} = \frac{xy+y+xy-y}{2} = \frac{2xy}{2} = xy $.

$ A-B = \frac{y(x+1) - y(x-1)}{2} = \frac{xy+y-xy+y}{2} = \frac{2y}{2} = y $.

Таким образом, левая часть уравнения принимает вид: $ \frac{1}{2}(\sin(xy) + \sin(y)) $.

Преобразуем правую часть уравнения с помощью формулы понижения степени $ \cos^2 \alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2} $:

$ \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{y}{2}) = \frac{1+\cos(2(\frac{\pi}{4} - \frac{y}{2}))}{2} = \frac{1+\cos(\frac{\pi}{2} - y)}{2} $.

Применим формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} - y) = \sin y $:

$ \frac{1+\cos(\frac{\pi}{2} - y)}{2} = \frac{1+\sin y}{2} $.

Теперь приравняем преобразованные части уравнения:

$ \frac{1}{2}(\sin(xy) + \sin(y)) = \frac{1+\sin y}{2} $.

Умножим обе части на 2:

$ \sin(xy) + \sin(y) = 1 + \sin y $.

Вычтем $ \sin y $ из обеих частей:

$ \sin(xy) = 1 $.

Это уравнение верно, когда аргумент синуса равен $ \frac{\pi}{2} + 2\pi n $ для любого целого $ n $.

$ xy = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ xy = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.