Номер 29.29, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Для построения графика функции $y = 2 \left| \sin\left(x - \frac{5\pi}{12}\right) \cos\left(x + \frac{5\pi}{12}\right) \right|$ сначала упростим выражение под знаком модуля.

Воспользуемся формулой произведения синуса на косинус: $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $.

В нашем случае $ \alpha = x - \frac{5\pi}{12} $ и $ \beta = x + \frac{5\pi}{12} $.

Тогда:

$ \alpha + \beta = \left(x - \frac{5\pi}{12}\right) + \left(x + \frac{5\pi}{12}\right) = 2x $

$ \alpha - \beta = \left(x - \frac{5\pi}{12}\right) - \left(x + \frac{5\pi}{12}\right) = -\frac{10\pi}{12} = -\frac{5\pi}{6} $

Подставляем эти значения в формулу:

$ \sin\left(x - \frac{5\pi}{12}\right) \cos\left(x + \frac{5\pi}{12}\right) = \frac{1}{2}\left(\sin(2x) + \sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right) $

Так как $ \sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} $, получаем:

$ \frac{1}{2}\left(\sin(2x) - \frac{1}{2}\right) $

Теперь подставим упрощенное выражение обратно в исходную функцию:

$ y = 2 \left| \frac{1}{2}\left(\sin(2x) - \frac{1}{2}\right) \right| = \left| \sin(2x) - \frac{1}{2} \right| $

Для построения графика функции $ y = \left| \sin(2x) - \frac{1}{2} \right| $ выполним следующие преобразования:

1. Строим график функции $ y_1 = \sin(x) $.
2. Сжимаем его по горизонтали в 2 раза, чтобы получить график $ y_2 = \sin(2x) $. Период этой функции $ T = \frac{2\pi}{2} = \pi $.
3. Смещаем полученный график вниз на $ \frac{1}{2} $ единицы, чтобы получить график $ y_3 = \sin(2x) - \frac{1}{2} $. Этот график колеблется в диапазоне от $ -1,5 $ до $ 0,5 $.
4. Применяем операцию взятия модуля: $ y = |y_3| = \left| \sin(2x) - \frac{1}{2} \right| $. Это означает, что часть графика $ y_3 $, которая находится ниже оси Ох, симметрично отражается вверх относительно этой оси, а часть, которая находится выше или на оси Ох, остается без изменений.

Ответ: График функции $y = 2 \left| \sin\left(x - \frac{5\pi}{12}\right) \cos\left(x + \frac{5\pi}{12}\right) \right|$ совпадает с графиком функции $y = \left| \sin(2x) - \frac{1}{2} \right|$. Это периодическая функция с периодом $\pi$ и областью значений $[0; 1,5]$. Построение графика осуществляется путем последовательных преобразований: сжатие графика $y = \sin(x)$ вдоль оси абсцисс в 2 раза, сдвиг вниз на $1/2$ и отражение отрицательной части графика относительно оси абсцисс.

Для построения графика функции $ y = -3 \left| \cos\frac{3x+\pi}{6} \cos\frac{3x-\pi}{6} \right| $ сначала упростим выражение под знаком модуля.

Воспользуемся формулой произведения косинусов: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) $.

В нашем случае $ \alpha = \frac{3x+\pi}{6} $ и $ \beta = \frac{3x-\pi}{6} $.

Тогда:

$ \alpha + \beta = \frac{3x+\pi}{6} + \frac{3x-\pi}{6} = \frac{6x}{6} = x $

$ \alpha - \beta = \frac{3x+\pi}{6} - \frac{3x-\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} $

Подставляем эти значения в формулу:

$ \cos\frac{3x+\pi}{6} \cos\frac{3x-\pi}{6} = \frac{1}{2}\left(\cos(x) + \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) $

Так как $ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $, получаем:

$ \frac{1}{2}\left(\cos(x) + \frac{1}{2}\right) $

Теперь подставим упрощенное выражение обратно в исходную функцию:

$ y = -3 \left| \frac{1}{2}\left(\cos(x) + \frac{1}{2}\right) \right| = -\frac{3}{2} \left| \cos(x) + \frac{1}{2} \right| $

Для построения графика функции $ y = -\frac{3}{2} \left| \cos(x) + \frac{1}{2} \right| $ выполним следующие преобразования:

1. Строим график функции $ y_1 = \cos(x) $.
2. Смещаем его вверх на $ \frac{1}{2} $ единицы, чтобы получить график $ y_2 = \cos(x) + \frac{1}{2} $. Этот график колеблется в диапазоне от $ -0,5 $ до $ 1,5 $.
3. Применяем операцию взятия модуля: $ y_3 = |y_2| = \left| \cos(x) + \frac{1}{2} \right| $. Часть графика $ y_2 $, которая находится ниже оси Ох, симметрично отражается вверх относительно этой оси.
4. Растягиваем график $ y_3 $ по вертикали в $ \frac{3}{2} $ раза и отражаем его относительно оси Ох, чтобы получить итоговый график $ y = -\frac{3}{2} y_3 = -\frac{3}{2} \left| \cos(x) + \frac{1}{2} \right| $.

Ответ: График функции $y = -3 \left| \cos\frac{3x+\pi}{6} \cos\frac{3x-\pi}{6} \right|$ совпадает с графиком функции $y = -\frac{3}{2} \left| \cos(x) + \frac{1}{2} \right|$. Это периодическая функция с периодом $2\pi$ и областью значений $[-2,25; 0]$. Построение графика осуществляется путем последовательных преобразований: сдвиг графика $y = \cos(x)$ вверх на $1/2$, отражение отрицательной части графика относительно оси абсцисс, а затем растяжение от оси абсцисс в 1,5 раза и отражение относительно этой же оси.